Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

• Κύριοι συγγραφείς: Δάσιος, Γεώργιος, Κυριάκη, Κυριακή, Βαφέας, Παναγιώτης, Dassios, George, Kyriaki, Kyriaki, Vafeas, Panayiotis
• Μορφή: 1
• Γλώσσα: Greek
• Έκδοση: 2023
• Θέματα: Εξισώσεις ελλειπτικού τύπου; Θεωρία δυναμικού; Εξισώσεις παραβολικού τύπου; Εξισώσεις διάχυσης; Εξισώσεις Υπερβολικού Τύπου; Κυματική διάδοση; Πρόβλημα ταλαντώσεων; Ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις λύσεων; Ιδιολύσεις; Ιδιοαναπτύγματα; Equations of elliptic type; Potential theory; Equations of parabolic type; Diffusion equations; Equations of hyperbolic type; Wave propagation; Oscillation problem; Integral representations of solutions; Eigensolutions; Eigenexpansions

Το βασικό χαρακτηριστικό των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (ΜΔΕ) εδράζεται στο γεγονός ότι οι λύσεις τους μπορούν να είναι συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, και κατά συνέπεια μπορούν να περιγράφουν φαινόμενα του πραγματικού κόσμου, όπου τα μεγέθη εξαρτώνται συνήθως από τις τρεις χωρικές διαστάσεις συν τον χρόνο. Σε αρχικό επίπεδο, οι ΜΔΕ ταξινομούνται σε τρεις μεγάλες κατηγορίες με βάση την εξάρτηση των λύσεών τους από τον χρόνο. Έτσι έχουμε τις εξισώσεις ελλειπτικού τύπου, οι λύσεις των οποίων είναι ανεξάρτητες του χρόνου, τις εξισώσεις παραβολικού τύπου, με λύσεις εξαρτώμενες μη αντιστρεπτά στον χρόνο, και τις εξισώσεις υπερβολικού τύπου, στις οποίες η χρονική εξάρτηση των λύσεων είναι χρονικά αντιστρεπτή. Οι βασικές φυσικές διαδικασίες που περιγράφουν αυτοί οι τρεις τύποι εξισώσεων είναι κατά σειρά οι θεωρίες δυναμικού (ελλειπτικός τύπος), οι διαδικασίες διάχυσης (παραβολικός τύπος) και τα φαινόμενα ταλαντώσεων και κυματικής διάδοσης (υπερβολικός τύπος). Το παρόν σύγγραμμα εστιάζεται στις μεθόδους επίλυσης των τριών αυτών τύπων ΜΔΕ σε διάφορα γεωμετρικά περιβάλλοντα, όπως είναι η γεωμετρία που επιβάλλει το καρτεσιανό, το κυλινδρικό, το σφαιρικό αλλά και το πολικό σύστημα συντεταγμένων. Σε περίπτωση πιο πολύπλοκης γεωμετρικής δομής περιγράφονται οι μέθοδοι επίλυσης που βασίζονται στις συναρτήσεις Green και στις ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις που δημιουργούν. Η κεντρική μέθοδος είναι αυτή των ιδιοσυναρτήσεων και των αντίστοιχων ιδιοαναπτυγμάτων. Πέρα από τις κλασικές φασματικές μεθόδους, ο αναγνώστης μπορεί επίσης να βρει εισαγωγικές αναλύσεις σε εξισώσεις πρώτης τάξης με τη μέθοδο των χαρακτηριστικών, σε ολοκληρωτικούς μετασχηματισμούς, στη μέθοδο της αντιστροφής Kelvin, καθώς και σε θέματα που αφορούν την ενεργειακή συμπεριφορά των φαινομένων. Τέλος, έχει γίνει προσπάθεια, οι διάφορες μαθηματικές τεχνικές να συνοδεύονται και από τη φυσική σημασία των φαινομένων που περιγράφουν οι αντίστοιχες εξισώσεις.