Αλγεβρική Τοπολογία

• Κύριοι συγγραφείς: Τζερμιάς, Παύλος, Ζαφειρίδου, Σοφία, Tzermias, Pavlos, Zafiridou, Sophia
• Μορφή: 2
• Γλώσσα: Greek
• Έκδοση: 2024
• Θέματα: Τοπολογία πηλίκο; Τοπολογικές πολλαπλότητες; Ταξινόμηση συμπαγών επιφανειών; Δράσεις ομάδων σε χώρους, άρτιες δράσεις; Ομοτοπία και σχετική ομοτοπία απεικονίσεων; Θεμελιώδης ομάδα; Ομοτοπική ισοδυναμία; Συσταλτότητα; Παραμορφωτικές συρρικνώσεις; Επικαλύψεις και ανυψώσεις; Καθολικός χώρος επικάλυψης; Αυτομορφισμοί επικαλύψεων; Ιδιάζουσα ομολογία; Ομολογιακές ομάδες σφαιρών; Ομάδες ομοτοπίας ανώτερης τάξης; Θεώρημα Hurewicz; Θεώρημα Seifert-Van Kampen; Υπολογισμοί με γεννήτορες και σχέσεις; Quotient topology; Topological manifolds; Classification of compact surfaces; Group actions on spaces, even actions; Homotopy and relative homotopy of maps; Fundamental group; Homotopy equivalence; Contractibility; Deformation retractions; Coverings and liftings; Universal covering space; Automorphisms of coverings; Singular homology; Homology groups of spheres; Higher homotopy groups; Hurewicz Theorem; Seifert-Van Kampen Theorem; Calculations with generators and relations

Στο πρώτο κεφάλαιο του παρόντος συγγράμματος υπενθυμίζονται βασικές έννοιες της Γενικής Τοπολογίας. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάται ο χώρος πηλίκο, γίνεται μια συνοπτική εισαγωγή στις τοπολογικές πολλαπλότητες και παρουσιάζεται η κλασική ταξινόμηση των συμπαγών επιφανειών. Στο τρίτο κεφάλαιο μελετώνται τοπολογικές ομάδες και δράσεις ομάδων σε τοπολογικούς χώρους, με έμφαση στη χρήσιμη έννοια της άρτιας δράσης. Στο τέταρτο κεφάλαιο εισάγονται η ομοτοπία απεικονίσεων, η θεμελιώδης ομάδα τοπολογικού χώρου και η ομοτοπική ισοδυναμία τοπολογικών χώρων. Στο πέμπτο κεφάλαιο μελετώνται απλά συνεκτικοί χώροι, συσταλτοί χώροι, παραμορφωτικές και ισχυρά παραμορφωτικές συρρικνώσεις και αποδεικνύεται ότι οι θεμελιώδεις ομάδες τοπολογικών ομάδων είναι αβελιανές. Στο έκτο και έβδομο κεφάλαιο μελετώνται επικαλύψεις, ανυψώσεις απεικονίσεων και ομοτοπίας, δράση μονοδρομίας, καθολικοί χώροι επικάλυψης, ιεραρχίες επικαλύψεων και αυτομορφισμοί, άρτιες δράσεις και κανονικές επικαλύψεις. Το όγδοο κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στην ιδιάζουσα ομολογία. Μελετώνται οι ομολογιακές ομάδες τοπολογικών χώρων, οι ομομορφισμοί που επάγονται από συνεχείς απεικονίσεις και αποδεικνύεται το αναλλοίωτο της ομολογίας ως προς ομοτοπικές απεικονίσεις. Στο ένατο κεφάλαιο εισάγονται οι ομάδες ομοτοπίας ανώτερης τάξης και γίνεται η σύνδεση ομοτοπίας και ομολογίας μέσω του Θεωρήματος Hurewicz. Επίσης, με χρήση της ακολουθίας Mayer-Vietoris, υπολογίζονται οι ομολογιακές ομάδες των σφαιρών. Στο δέκατο κεφάλαιο αποδεικνύονται σημαντικά Θεωρήματα της Αλγεβρικής Τοπολογίας, όπως το Αναλλοίωτο της Διάστασης, το Θεώρημα της Τριχωτής Σφαίρας και το Θεώρημα Σταθερού Σημείου του Brouwer. Μέσω της μελέτης εμφυτεύσεων σφαιρών σε σφαίρες, αποδεικνύονται επίσης το Αναλλοίωτο του Χωρίου και το Θεώρημα Jordan-Brouwer. Διατυπώνεται το γενικό Θεώρημα Seifert-Van Kampen και δίνεται η απόδειξη μιας ειδικής περίπτωσής του από τον Grothendieck. Χρησιμοποιούνται βασικά εργαλεία της Συνδυαστικής Θεωρίας Ομάδων για τον υπολογισμό των θεμελιωδών ομάδων των συμπαγών επιφανειών. Τέλος, γίνεται μια σύντομη αναφορά σε θεμελιακά ζητήματα, όπως είναι τα προβλήματα των λέξεων, του ισομορφισμού και του ομοιομορφισμού.