| Περίληψη: | Κύριος στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η ανάλυση κάποιων βασικών μεθόδων επίλυσης αραιών γραμμικών συστημάτων καθώς και η δημιουργία, με χρήση τεχνικών μηχανικής μάθησης, ενός μοντέλου στο οποίο όταν δοθεί σαν είσοδος ένα αραιό γραμμικό σύστημα θα προτείνει μία από τις παραπάνω μεθόδους ως βέλτιστη για την επίλυσή του.
Αρχικά, παρουσιάζεται το απαραίτητο θεωρητικό υπόβαθρο για την κατανόηση των μεθόδων επίλυσης αραιών γραμμικών συστημάτων οι οποίες αναλύονται στη συνέχεια της διπλωματικής εργασίας. Πιο συγκεκριμένα, παρουσιάζονται κάποιες βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας σχετικά με τα διανύσματα, τα μητρώα, τους διανυσματικούς χώρους και τις προβολές.
Έπειτα, ακολουθεί μια αναφορά στα γραμμικά συστήματα εξισώσεων και αναλύονται οι βασικές τεχνικές αποθήκευσης αραιών μητρώων και οι επαναληπτικές μέθοδοι Generalized Minimal Residual , Conjugate Gradient, Biconjugate Gradient και Quasi Minimal Residual οι οποίες αναζητούν την προσεγγιστική λύση σε κάποιον υπόχωρο Krylov για την επίλυση αραιών γραμμικών συστημάτων.
Στη συνέχεια της διπλωματικής εργασίας γίνεται μια εισαγωγή στη μηχανική μάθηση η οποία αποτελεί έναν από τους βασικότερους κλάδους της Υπολογιστικής Νοημοσύνης. Δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στην επιβλεπόμενη μάθηση και στο πρόβλημα της κατηγοριοποίησης. Παρουσιάζονται κάποιες εκ των βασικών προσεγγίσεων της επίλυσης του παραπάνω προβλήματος, όπως είναι τα Δέντρα Απόφασης, τα Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα, η οικογένεια Μπεϋζιανών Ταξινομητών, οι Μηχανές Διανυσμάτων Υποστήριξης και ο αλγόριθμος των k- Κοντινότερων Γειτόνων. Επιπλέον, περιγράφεται η παλινδρόμηση ως μορφή επιβλεπόμενης μάθησης και αναλύονται οι αλγόριθμοι Linear Regression και Μ5.
Στο τελευταίο μέρος της εργασίας παρουσιάζεται η υλοποίηση ενός μοντέλου κατηγοριοποίησης για την επιλογή της βέλτιστης μεθόδου επίλυσης, από τις μεθόδους που χρησιμοποιήσαμε, όταν δοθεί σαν είσοδος ένα αραιό σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Στην λήψη της απόφασης, λαμβάνονται υπόψη οι ιδιότητες (δείκτης κατάστασης, ίχνος, Ευκλείδεια νόρμα κ.α) του μητρώου των συντελεστών των αγνώστων ώστε με βάση αυτές να επιλεγεί η καταλληλότερη μέθοδος από άποψη χρόνου επίλυσης. Επιπλέον, κατασκευάζονται και τρία μοντέλα παλινδρόμησης, για πρόβλεψη του χρόνου επίλυσης ενός δοθέντος αραιού γραμμικού συστήματος με την χρήση των μεθόδων Biconjugate Gradient, Quasi Minimal Residual και Generalized Minimal Residual αντίστοιχα.
|
|---|
