| Περίληψη: | Η συγκεκριμένη διπλωματική εργασία επικεντρώνεται στην ανάλυση επαναληπτικών
μεθόδων που χρησιμοποιούνται στην επίλυση αραιών γραμμικών συστημάτων και παράλ-
ληλα εξετάζει την αποδοτικότητα της κάθε μεθόδου σε προβλήματα μεγάλης κλίμακας
με το υπολογιστικό εργαλείο Matlab. Επιπλέον γίνεται χρήση του δυναμικού λογισμικού
Geogebra για τη δημιουργία σχημάτων προς διατύπωση γεωμετρικών ερμηνειών.
Στην αρχή της εργασίας παρουσιάζονται κάποιες βασικές έννοιες και ορισμοί από το
χώρο της Γραμμικής Άλγεβρας που χρησιμοποιούνται και στα επόμενα κεφάλαια. Συγκε-
κριμένα εξετάζονται έννοιες σχετικές με διανύσματα, πίνακες, διανυσματικούς χώρους,
νόρμες διανυσμάτων και πινάκων, όπως και η έννοια της ορθογωνιότητας.
Στη συνέχεια στα επόμενα τρία κεφάλαια παρουσιάζονται αναλυτικά οι επαναληπτικές
μέθοδοι επίλυσης αραιών γραμμικών συστημάτων. Ξεκινώντας από τις μεθόδους προβο-
λής περιγράφονται οι μέθοδοι της Απότομης Καθόδου και του Ελαχίστου Υπολοίπου.
Έπειτα γίνεται μια εισαγωγή στους υποχώρους Krylov και τις μεθόδους που σχετίζονται
με αυτούς όπως οι μέθοδοι Συζυγών και Δισυζυγών Κλίσεων, η Γενικευμένη μέθοδος
Ελαχίστου Υπολοίπου και η Quasi μέθοδος Ελαχίστου Υπολοίπου. Ακόμα παρουσιάζο-
νται και οι μέθοδοι Κανονικών Εξισώσεων CGNR και CGNE.
Τέλος παρατίθενται αναλυτικά τα αποτελέσματα των παραπάνω μεθόδων έπειτα από
εφαρμογή σε μεγάλης κλίμακας προβλήματα με πίνακα συντελεστών συμμετρικό και μη
συμμετρικό. Για τα αποτελέσματα χρησιμοποιείται το λογισμικό Matlab στο οποίο έχουν
υλοποιηθεί οι βασικοί αλγόριθμοι των μεθόδων, ενώ παράλληλα χρησιμοποιούνται και
οι έτοιμες συναρτήσεις που διαθέτει για αραιά γραμμικά συστήματα. Κλείνοντας διατυ-
πώνονται τα συμπεράσματα που προκύπτουν έπειτα από την εφαρμογή των μεθόδων ενώ
υπάρχει και παράρτημα στο οποίο παρουσιάζονται στα πλαίσια της παρούσας μεταπτυ-
χιακής εργασίας οι υλοποιημένες μέθοδοι χρησιμοποιώντας το Matlab.
|
|---|
