Μέθοδοι επίλυσης αραιών γραμμικών συστημάτων και υλοποίηση αλγορίθμων σε Matlab
Η συγκεκριμένη διπλωματική εργασία επικεντρώνεται στην ανάλυση επαναληπτικών μεθόδων που χρησιμοποιούνται στην επίλυση αραιών γραμμικών συστημάτων και παράλ- ληλα εξετάζει την αποδοτικότητα της κάθε μεθόδου σε προβλήματα μεγάλης κλίμακας με το υπολογιστικό εργαλείο Matlab. Επιπλέον γίνεται χρήση...
| Κύριος συγγραφέας: | |
|---|---|
| Άλλοι συγγραφείς: | |
| Μορφή: | Thesis |
| Γλώσσα: | Greek |
| Έκδοση: |
2018
|
| Θέματα: | |
| Διαθέσιμο Online: | http://hdl.handle.net/10889/11339 |
| id |
nemertes-10889-11339 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| institution |
UPatras |
| collection |
Nemertes |
| language |
Greek |
| topic |
Αραιά γραμμικά συστήματα Μέθοδοι προβολής Υπόχωροι Krylov Sparse linear systems Projection methods Krylov subspaces Matlab GeoGebra 512.5 |
| spellingShingle |
Αραιά γραμμικά συστήματα Μέθοδοι προβολής Υπόχωροι Krylov Sparse linear systems Projection methods Krylov subspaces Matlab GeoGebra 512.5 Θάνος, Κωνσταντίνος Μέθοδοι επίλυσης αραιών γραμμικών συστημάτων και υλοποίηση αλγορίθμων σε Matlab |
| description |
Η συγκεκριμένη διπλωματική εργασία επικεντρώνεται στην ανάλυση επαναληπτικών
μεθόδων που χρησιμοποιούνται στην επίλυση αραιών γραμμικών συστημάτων και παράλ-
ληλα εξετάζει την αποδοτικότητα της κάθε μεθόδου σε προβλήματα μεγάλης κλίμακας
με το υπολογιστικό εργαλείο Matlab. Επιπλέον γίνεται χρήση του δυναμικού λογισμικού
Geogebra για τη δημιουργία σχημάτων προς διατύπωση γεωμετρικών ερμηνειών.
Στην αρχή της εργασίας παρουσιάζονται κάποιες βασικές έννοιες και ορισμοί από το
χώρο της Γραμμικής Άλγεβρας που χρησιμοποιούνται και στα επόμενα κεφάλαια. Συγκε-
κριμένα εξετάζονται έννοιες σχετικές με διανύσματα, πίνακες, διανυσματικούς χώρους,
νόρμες διανυσμάτων και πινάκων, όπως και η έννοια της ορθογωνιότητας.
Στη συνέχεια στα επόμενα τρία κεφάλαια παρουσιάζονται αναλυτικά οι επαναληπτικές
μέθοδοι επίλυσης αραιών γραμμικών συστημάτων. Ξεκινώντας από τις μεθόδους προβο-
λής περιγράφονται οι μέθοδοι της Απότομης Καθόδου και του Ελαχίστου Υπολοίπου.
Έπειτα γίνεται μια εισαγωγή στους υποχώρους Krylov και τις μεθόδους που σχετίζονται
με αυτούς όπως οι μέθοδοι Συζυγών και Δισυζυγών Κλίσεων, η Γενικευμένη μέθοδος
Ελαχίστου Υπολοίπου και η Quasi μέθοδος Ελαχίστου Υπολοίπου. Ακόμα παρουσιάζο-
νται και οι μέθοδοι Κανονικών Εξισώσεων CGNR και CGNE.
Τέλος παρατίθενται αναλυτικά τα αποτελέσματα των παραπάνω μεθόδων έπειτα από
εφαρμογή σε μεγάλης κλίμακας προβλήματα με πίνακα συντελεστών συμμετρικό και μη
συμμετρικό. Για τα αποτελέσματα χρησιμοποιείται το λογισμικό Matlab στο οποίο έχουν
υλοποιηθεί οι βασικοί αλγόριθμοι των μεθόδων, ενώ παράλληλα χρησιμοποιούνται και
οι έτοιμες συναρτήσεις που διαθέτει για αραιά γραμμικά συστήματα. Κλείνοντας διατυ-
πώνονται τα συμπεράσματα που προκύπτουν έπειτα από την εφαρμογή των μεθόδων ενώ
υπάρχει και παράρτημα στο οποίο παρουσιάζονται στα πλαίσια της παρούσας μεταπτυ-
χιακής εργασίας οι υλοποιημένες μέθοδοι χρησιμοποιώντας το Matlab. |
| author2 |
Γράψα, Θεοδούλα |
| author_facet |
Γράψα, Θεοδούλα Θάνος, Κωνσταντίνος |
| format |
Thesis |
| author |
Θάνος, Κωνσταντίνος |
| author_sort |
Θάνος, Κωνσταντίνος |
| title |
Μέθοδοι επίλυσης αραιών γραμμικών συστημάτων και υλοποίηση αλγορίθμων σε Matlab |
| title_short |
Μέθοδοι επίλυσης αραιών γραμμικών συστημάτων και υλοποίηση αλγορίθμων σε Matlab |
| title_full |
Μέθοδοι επίλυσης αραιών γραμμικών συστημάτων και υλοποίηση αλγορίθμων σε Matlab |
| title_fullStr |
Μέθοδοι επίλυσης αραιών γραμμικών συστημάτων και υλοποίηση αλγορίθμων σε Matlab |
| title_full_unstemmed |
Μέθοδοι επίλυσης αραιών γραμμικών συστημάτων και υλοποίηση αλγορίθμων σε Matlab |
| title_sort |
μέθοδοι επίλυσης αραιών γραμμικών συστημάτων και υλοποίηση αλγορίθμων σε matlab |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://hdl.handle.net/10889/11339 |
| work_keys_str_mv |
AT thanoskōnstantinos methodoiepilysēsaraiōngrammikōnsystēmatōnkaiylopoiēsēalgorithmōnsematlab AT thanoskōnstantinos methodsforsolvingsparselinearsystemsandalgorithmimplementationsinmatlab |
| _version_ |
1771297126227116032 |
| spelling |
nemertes-10889-113392022-09-05T04:45:10Z Μέθοδοι επίλυσης αραιών γραμμικών συστημάτων και υλοποίηση αλγορίθμων σε Matlab Methods for solving sparse linear systems and algorithm implementations in Matlab Θάνος, Κωνσταντίνος Γράψα, Θεοδούλα Γράψα, Θεοδούλα Κωτσιαντής, Σωτήρης Ανδρουλάκης, Γεώργιος Thanos, Konstantinos Αραιά γραμμικά συστήματα Μέθοδοι προβολής Υπόχωροι Krylov Sparse linear systems Projection methods Krylov subspaces Matlab GeoGebra 512.5 Η συγκεκριμένη διπλωματική εργασία επικεντρώνεται στην ανάλυση επαναληπτικών μεθόδων που χρησιμοποιούνται στην επίλυση αραιών γραμμικών συστημάτων και παράλ- ληλα εξετάζει την αποδοτικότητα της κάθε μεθόδου σε προβλήματα μεγάλης κλίμακας με το υπολογιστικό εργαλείο Matlab. Επιπλέον γίνεται χρήση του δυναμικού λογισμικού Geogebra για τη δημιουργία σχημάτων προς διατύπωση γεωμετρικών ερμηνειών. Στην αρχή της εργασίας παρουσιάζονται κάποιες βασικές έννοιες και ορισμοί από το χώρο της Γραμμικής Άλγεβρας που χρησιμοποιούνται και στα επόμενα κεφάλαια. Συγκε- κριμένα εξετάζονται έννοιες σχετικές με διανύσματα, πίνακες, διανυσματικούς χώρους, νόρμες διανυσμάτων και πινάκων, όπως και η έννοια της ορθογωνιότητας. Στη συνέχεια στα επόμενα τρία κεφάλαια παρουσιάζονται αναλυτικά οι επαναληπτικές μέθοδοι επίλυσης αραιών γραμμικών συστημάτων. Ξεκινώντας από τις μεθόδους προβο- λής περιγράφονται οι μέθοδοι της Απότομης Καθόδου και του Ελαχίστου Υπολοίπου. Έπειτα γίνεται μια εισαγωγή στους υποχώρους Krylov και τις μεθόδους που σχετίζονται με αυτούς όπως οι μέθοδοι Συζυγών και Δισυζυγών Κλίσεων, η Γενικευμένη μέθοδος Ελαχίστου Υπολοίπου και η Quasi μέθοδος Ελαχίστου Υπολοίπου. Ακόμα παρουσιάζο- νται και οι μέθοδοι Κανονικών Εξισώσεων CGNR και CGNE. Τέλος παρατίθενται αναλυτικά τα αποτελέσματα των παραπάνω μεθόδων έπειτα από εφαρμογή σε μεγάλης κλίμακας προβλήματα με πίνακα συντελεστών συμμετρικό και μη συμμετρικό. Για τα αποτελέσματα χρησιμοποιείται το λογισμικό Matlab στο οποίο έχουν υλοποιηθεί οι βασικοί αλγόριθμοι των μεθόδων, ενώ παράλληλα χρησιμοποιούνται και οι έτοιμες συναρτήσεις που διαθέτει για αραιά γραμμικά συστήματα. Κλείνοντας διατυ- πώνονται τα συμπεράσματα που προκύπτουν έπειτα από την εφαρμογή των μεθόδων ενώ υπάρχει και παράρτημα στο οποίο παρουσιάζονται στα πλαίσια της παρούσας μεταπτυ- χιακής εργασίας οι υλοποιημένες μέθοδοι χρησιμοποιώντας το Matlab. This specific diploma thesis focuses on the analysis of iterative methods which are used to solve sparse linear systems and at the same time examines the efficiency of each method in real large scale linear problems with the computing tool Matlab. Moreover the software Geogebra is used for the creation of geometric interpretations. At the beginning of this thesis some basic concepts and definitions are presented from the area of Linear Algebra which are used in the following chapters. Particularly are examined concepts related to vectors, matrices, vector spaces, vector and matrix norms and also the concept of orthogonality. Then in the following three chapters are presented in details the iterative methods for solving sparse linear systems. Starting from the projection methods are described the methods of Steepest Descent and Minimum Residual. Then there is an introduction to the Krylov subspaces and the methods which are related to them such as the methods of Conjugate Gradient and Biconjugate Gradient, the Generalized Minimal Residual method and the Quasi Minimal Residual method. Also the methods CGNR and CGNE of Normal Equations are presented. In conlusion the results of the above methods are presented in detail after their application in large scale problems with symmetric and non symmetric coefficient matrix. For the results is used the software Matlab in which the basic algorithms of the methods are implemented and Matlab functions for sparse linear systems. Finally the conclusions that are drawn after the application of the above methods are described and there is an appendix in which the above methods are presented in the framework of the present postgraduate work using Matlab. 2018-06-08T15:01:07Z 2018-06-08T15:01:07Z 2018-02 Thesis http://hdl.handle.net/10889/11339 gr 0 application/pdf |
