| Περίληψη: | Οι συναρτήσεις Bessel λόγω της ευρείας εφαρμογής τους σε διάφορα προβλήματα της Μαθηματικής Φυσικής, της Αστρονομίας, της Κβαντομηχανικής και αλλού, έχουν ερευνηθεί σε βάθος και ερευνώνται μέχρι και σήμερα. Υπάρχει πληθώρα βιβλιογραφίας αλλά και δημοσιευμένων επιστημονικών εργασιών που εξετάζουν τόσο τις συναρτήσεις Bessel όσο και τις ρίζες αυτών, καθώς το πρόβλημα των ριζών αποτελεί ένα από τα πιο σημαντικά ζητήματα στη θεωρία των συναρτήσεων Bessel. Στην παρούσα εργασία, θα μελετήσουμε τις ρίζες των συναρτήσεων Bessel και των παραγώγων αυτών. Πιο συγκεκριμένα, θα καταγράψουμε και θα αποδείξουμε προτάσεις που αφορούν στις πραγματικές, μιγαδικές αλλά και καθαρά φανταστικές ρίζες της n-οστής παραγώγου των συναρτήσεων Bessel, με τάξη παραγώγισης n μεγαλύτερη ή και ίση του μηδενός. Ακόμη, όσον αφορά στις πραγματικές ρίζες, θα δώσουμε φράγματα γι' αυτές, θα εξετάσουμε το πλήθος τους αλλά και θα τις ταξινομήσουμε σε συγκεκριμένα διαστήματα. Στο κεφάλαιο 1, αφού διατυπώσουμε μερικά αποτελέσματα σχετικά με τις πραγματικές ρίζες των συναρτήσεων Bessel αλλά και της πρώτης παραγώγου αυτών, θα αποδείξουμε κάποιες προτάσεις σχετικά με τις πραγματικές ρίζες της n -οστής παραγώγου των εν λόγω συναρτήσεων. Στο κεφάλαιο 2, θα δώσουμε κάτω και άνω φράγματα τόσο για την πρώτη θετική πραγματική ρίζα των συναρτήσεων Bessel και της πρώτης παραγώγου αυτών, όσο και για την k-οστή θετική πραγματική ρίζα των συναρτήσεων αυτών, με k μεγαλύτερο ή ίσο της μονάδας. Στα κεφάλαια 3 και 4, θα αποδείξουμε προτάσεις σχετικά με τις πραγματικές ρίζες της δεύτερης και της τρίτης παραγώγου των συναρτήσεων Bessel και θα μελετήσουμε την ύπαρξη πραγματικών ριζών των συναρτήσεων αυτών σε συγκεκριμένα διαστήματα. Επίσης, όσον αφορά στην δεύτερη παράγωγο των συναρτήσεων Βessel θα δώσουμε κάτω και άνω φράγματα για την πρώτη θετική πραγματική ρίζα αυτών, ενώ θα αποδείξουμε κάποια αποτελέσματα σχετικά με την μονοτονία των πραγματικών ριζών της τρίτης παραγώγου των συναρτήσεων αυτών. Στο κεφάλαιο 5, για διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού ν ο οποίος αφορά στην τάξη των συναρτήσεων Bessel, θα ταξινομήσουμε τις πρώτες θετικές ρίζες της πρώτης, δεύτερης και τρίτης παραγώγου των συναρτήσεων αυτών σε συγκεκριμένο διάστημα, σύμφωνα με όσα έχουμε αναφέρει στα προηγούμενα κεφάλαια. Τέλος, στο κεφάλαιο 6, θα καταγράψουμε κάποιες προτάσεις που αφορούν στις μιγαδικές αλλά και στις καθαρά φανταστικές ρίζες των συναρτήσεων Bessel καθώς και της πρώτης, δεύτερης και τρίτης παραγώγου αυτών, για διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού ν.
|
|---|
