| Περίληψη: | Ο βασικός στόχος της διπλωματικής εργασίας είναι η εισαγωγή στη θεωρία των ομοιόμορ-
φων κατανομών πραγματικών ακολουθιών. Επιδιώκει την διερεύνηση των θεμάτων που δια-
πραγματεύεται σε βάθος. Προσδοκώντας να προσελκύσει το ενδιαφέρον του αναγνώστη για
την θεωρία των ομοιόμορφων κατανομών, η οποία μπορεί αρχικά να φανεί ανιαρή με μια ου-
σιαστική αναζήτηση όμως διαπιστώνεται εύκολα πως αποτελεί αναπόσπαστο κομμάτι θεμάτων
που αφορούν την θεωρία αριθμών, συναρτησιακή ανάλυση, αλγεβρική τοπολογία, εργοδική
θεωρία, θεωρία πιθανοτήτων. Αρχικά η εργασία αυτή αποτελείται από βασικές γνώσεις που
αφορούν το ακέραιο και κλασματικό μέρος πραγματικού αριθμού. Επίσης διατυπώνονται και
αποδεικνύονται λεπτομερώς τα προσεγγιστικά θεωρήματα του Weierstrass. Όλα τα παραπάνω
είναι απαραίτητα εργαλεία για τα αποτελέσματα που θέλουμε να παρουσιάσουμε. Επιπλέον
μέσα στη μελέτη αυτή περιλαμβάνονται πρωταρχικές έννοιες των ομοιόμορφων κατανεμημέ-
νων ακολουθιών όπως ο ορισμός της έννοιας και η συνδεσή της με την πυκνότητα ακολουθιών
καθώς και με την ολοκλήρωση Riemann ολοκληρώσιμων συναρτήσεων. Στη συνέχεια συμπερι-
λαμβάνεται η διατύπωση και απόδειξη του κριτηρίου του Weyl, ο οποίος αξίζει να αναφερθεί
ότι ήταν ο θεμελιωτής αυτής της θεωρίας. Σύμφωνα με αυτό η ομοιόμορφη κατανομή ή όχι μιας
ακολουθίας πραγματικών αριθμών καθορίζεται από την σύγκλιση μιας ακολουθίας στο μηδέν,
η οποία προκύπτει κυρίως από μία συγκεκριμένη μορφή της μιγαδικής εκθετικής συνάρτησης.
Την εξέχουσα θέση του κριτηρίου στην θεωρία των ομοιόμορφων κατανομών υποδεικνύουν κά-
ποιες ιδιαίτερες εφαρμογές που θα παρουσιάσουμε σε ακολουθίες πραγματικών αριθμών και σε
δυναμοσειρές. Η συγγραφή της εργασίας ολοκληρώνεται με την καταγραφή και τεκμηρίωση
δύο θεωρημάτων, τα οποία οφείλονται στον Van der Corput και συσχετίζουν την ομοιόμορφη
κατανομή μιας ακολουθίας με τις διαφορές των όρων αυτής. Επίσης δίνονται εφαρμογές αυ-
τών των θεωρημάτων με πιο σημαντική εξ’αυτών το θεώρημα του Fejér. Τέλος να αναφέρουμε
πως βασική πηγή για την σύνθεση αυτής της εργασίας αποτέλεσε το βιβλίο με τίτλο ”Uniform
Distribution of Sequences” των L.Kuiper και H.Niederreiter.
|
|---|
