| Περίληψη: | Η Διπλωματική αυτή εργασία έχει ως αντικείμενο τον κλάδο των μαθηματικών, γνωστό με το όνομα Additive Combinatorics. Πιο συγκεκριμένα ασχολείται με θέματα που εμπίπτουν σε αυτό που καλείται Θεωρία Ramsey των Ακεραίων. Στο κεφάλαιο 0 δίνουμε μερικές βασικές έννοιες και ορισμούς που θα μας χρειαστούν στην πορεία της εργασίας. Στο κεφάλαιο 1 εξετάζουμε βασικές προτάσεις της Θεωρίας Ramsey οι οποίες μας δίνουν μια πρώτη γεύση για το είδος των αποτελεσμάτων που θα ακολουθήσουν στο επόμενο κεφάλαιο. Στο κεφάλαιο 2 μελετάμε ένα από τα κλασσικά Θεωρήματα της Θεωρίας Ramsey, το Θεώρημα του van der Waerden. Το Θεώρημα αυτό μας εξασφαλίζει την ύπαρξη μονοχρωματικών αριθμητικών προόδων, αυθαίρετα μεγάλου μήκους, σε κάθε πεπερασμένο χρωματισμό των Φυσικών Αριθμών. Εξετάζουμε διάφορες ισοδύναμες διατυπώσεις, μια γενίκευση του θεωρήματος, που αφορά τον χώρο τον οποίο χρωματίζουμε, καθώς και μία ασθενέστερη πρόταση που σχετίζεται με τα μονοχρωματικά αντικείμενα που αναζητάμε. Στο κεφάλαιο 3 εξετάζουμε ένα ακόμα κλασσικό θεώρημα της Θεωρίας Ramsey, το Θεώρημα του Schur, το οποίο μας εξασφαλίζει μονοχρωματική λύση της εξίσωσης x + y = z , για κάθε πεπερασμένο χρωματισμό των Φυσικών Αριθμών. Βλέπουμε επίσης κάποιες γενικεύσεις του θεωρήματος ενώ επίσης παρουσιάζουμε και μερικά αποτελέσματα που αφορούν τα άνω και κάτω φράγματα των Αριθμών Schur. Στο κεφάλαιο 4 ασχολούμαστε με το απερίγραπτου κάλους και εξαιρετικής δυσκολίας Θεώρημα του Szemeredi, το οποίο αποτελεί την 'πυκνή' εκδοχή του Θεωρήματος του van der Waerden. Ξεκινάμε παίρνοντας μια ιδέα από 'πυκνές' προτάσεις ενώ παίρνουμε και μια πρώτη ιδέα από Szemeredi αποδεικνύοντας την πιο απλή περίπτωσή του, γνωστή με το όνομα Θεώρημα του Roth. Συνεχίζουμε εξετάζοντας ένα από τα βασικά εργαλεία της απόδειξης του Θεωρήματος του Szemeredi, το Regularity Lemma του Szemeredi. Κλείνουμε εν τέλει, δίνοντας σε όλη την έκταση, μια πλήρη απόδειξη του Θεωρήματος του Szemeredi.
|
|---|
