| Περίληψη: | Σε αυτήν τη διδακτορική διατριβή γενικεύουμε μια αναλυτική συναρτησιακή μέθοδο που είχε χρησιμοποιηθεί για τη μελέτη των ριζών ορθογωνίων πολυωνύμων μιας μεταβλητής που ικανοποιούν μια αναδρομική σχέση τριών όρων με μιγαδικούς συντελεστές και αποδεικνύουμε κάποια αποτελέσματα για τις ρίζες των πολυωνύμων αυτών.
Η αναλυτική συναρτησιακή μέθοδος αυτή, γενικεύεται ακόμα περισσότερο για τη μελέτη πολυωνύμων δύο μεταβλητών {Pi,j(x, y)}Ν,Μi=0,j=0 βαθμού i-1 και j-1 ως προς x και y αντίστοιχα, που ικανοποιούν την αναδρομική σχέση:
αi,j Pi+1,j (x, y) + αi−1,j Pi−1,j (x, y) + βi,j Pi,j (x, y) + δi,j Pi,j+1(x, y)+
δi,j−1Pi,j−1(x, y) + γi,jPi,j(x, y) = (ax + by)Pi,j(x, y) (1)
για i = 1, . . . , N , j = 1, . . . , M με
P0,j(x, y) ≡ 0, Pi,0(x, y) ≡ 0, P1,j(x, y)=Qj(y) (2) όπου Qj(y) γνωστά πολυώνυμα του y βαθμού j-1 με Q1(y) ≡ 1 και Q0(y) ≡ 0.
Για τη μελέτη μας υποθέτουμε ότι αi,j > 0, δi,j > 0, βi,j, γi,j πραγματικές ακολουθίες και a, b ∈ R+. Αν θεωρήσουμε τις ειδικές περιπτώσεις
(Υ1): αi,j ≡ αi, βi,j ≡ βi, γi,j ≡ 0, δi,j ≡ 0, a = 1, b = 0, Pi,j(x, y) = Pi(x),
P0(x) ≡ 0, P1(x) ≡ 1
(Υ2): αi,j ≡ 0, βi,j ≡ 0, γi,j ≡ γj, δi,j ≡ δj, a = 0, b = 1, Pi,j(x, y) = Pj(y),
P0(y) ≡ 0, P1(y) ≡ 1,
η αναδρομική σχέση (1)-(2) συμπίπτει με τη γνωστή αναδρομική σχέση των κλασικών ορθογωνίων πολυωνύμων μιας μεταβλητής:
αiPi+1(x) + αi−1Pi−1(x) + βiPi(x) = xPi(x) P0(x) ≡ 0, P1(x) ≡ 1. (3)
Χρησιμοποιώντας τις υποθέσεις (Υ1) ή (Υ2) όλα τα αποτελέσματα για τα πολυώνυμα δύο μεταβλητών μπορούν να αναχθούν σε γνωστά αποτελέσματα των αντίστοιχων πολυωνύμων μιας μεταβλητής.
Τα κύρια αποτελέσματα που λαμβάνουμε με αυτήν τη μέθοδο, σχετίζονται με τις ρίζες των πολυωνύμων που ικανοποιούν τις (1)-(2). Τα ίδια αποτελέσματα αποδεικνύουμε ότι προκύπτουν χρησιμοποιώντας σύνθετους πίνακες (block matrices).Η μέθοδος που χρησιμοποιούμε μπορεί να μην αποδίδει αριθμητικά αποτελέσματα για φράγματα των ριζών των πολυωνύμων με πολύ μεγάλη ακρίβεια ακόμα, ωστόσο είναι πολύ εύχρηστη συγκριτικά με άλλες μεθόδους, καθώς το πρόβλημα εύρεσης των ριζών μετατρέπεται σε πρόβλημα εύρεσης ιδιοτιμών ενός τριδιαγώνιου αυτοσυζυγούς τελεστή του οποίου οι ιδιότητες είναι γνωστές. Επιπλέον, η μέθοδος αυτή δεν απαιτεί τα εξεταζόμενα πολυώνυμα να αποτελούν ακολουθία ορθογωνίων πολυωνύμων.
Στη συνέχεια ακολουθούμε μια πιο κλασική προσέγγιση:
Ορίζουμε την ορθογωνιότητα για πολυώνυμα δύο μεταβλητών και χρησιμοποιώντας αυτόν τον ορισμό αποδεικνύουμε ότι τα ορθογώνια πολυώνυμα δύο μεταβλητών ικανοποιούν την αναδρομική σχέση πέντε όρων (1) και αντιστρόφως, ότι αν ικανοποιούν την (1) , τότε αυτά αποτελούν μια οικογένεια ορθογωνίων πολυωνύμων.
Τέλος, με μεθόδους κλασικής ανάλυσης μελετάμε μερικές βασικές ιδιότητες των ορθογωνίων πολυωνύμων δύο μεταβλητών. Πιο συγκεκριμένα, παρουσιάζεται ένας τρόπος κατασκευής γεννητριών συναρτήσεων ορθογωνίων πολυωνύμων δύο μεταβλητών μέσω της αναδρομικής σχέσης (1) που ικανοποιούν. Επιπλέον, αποδεικνύονται τύποι αντίστοιχοι του τύπου του Rodrigues και του τύπου Darboux-Christoffel.
|
|---|
