Εφαρμογές της μιγαδικής ανάλυσης στη ρευστομηχανική και στην ειδική σχετικότητα

• Κύριος συγγραφέας: Σαράντη, Παναγιώτα
• Άλλοι συγγραφείς: Τόγκας, Αναστάσιος
• Μορφή: Thesis
• Γλώσσα: Greek
• Έκδοση: 2019
• Θέματα: Σύμμορφη απεικόνιση; Ροές γύρω από πτερύγια; Μετασχηματισμός Joukowski; Προβολικές συντεταγμένες της σφαίρας; Σπίνορες; Τετραδόνια; Conformal mapping; Flows around an airfoil; Joukowski transformation; Projective coordinates of sphere; Spinors; Quaternions; 515.9

Στην παρούσα εργασία, παρουσιάζουμε ορισμένες εφαρμογές την μιγαδικής ανάλυσης (των μιγαδικών συναρτήσεων) σε δύο ξεχωριστές κατηγορίες της Φυσικής, αυτές της αεροδυναμικής και της Ειδικής Σχετικότητας. Η εργασία αποτελείται από τρία κεφάλαια. Στο πρώτο, δίνουμε μία σύντομη ανασκόπηση των βασικών εννοιών και θεωρημάτων που αφορούν τις μιγαδικές συναρτήσεις και τα διανυσματικά πεδία. Το κύριο αντικείμενο αυτού του κεφαλαίου είναι η κατηγορία των ολομορφικών (αναλυτικών) συναρτήσεων και των αντίστοιχων σύμμορφων απεικονίσεων. Πρόκειται για έννοιες που έχουν πολλές εφαρμογές σε προβλήματα συνοριακών τιμών που αφορούν την εξίσωση Laplace. Τέτοιου είδους προβλήματα εμφανίζονται σε διάφορους κλάδους της φυσικής, όπως είναι αυτοί της ρευστοδυναμικής και ηλεκτροστατικής, με τους οποίους θα ασχοληθούμε τόσο στο πρώτο όσο και στο δεύτερο κεφάλαιο. Ειδικότερα, στο τέλος του πρώτου κεφαλαίου, εφαρμόζουμε τις σύμμορφες απεικονίσεις σε προβλήματα ρευστοδυναμικής, όπου η ροή είναι δισδιάστατη και αστρόβιλη. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζουμε τη χρήση της σύμμορφης απεικόνισης στη δισδιάστατη θεωρία αεροτομών. Αρχικά, περιγράφουμε αναλυτικά το φυσικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση μιας στάσιμης, αστρόβιλης ροής ενός ασυμπίεστου ρευστού γύρω από μια αεροτομή. Στη συνέχεια, μελετάμε το μετασχηματισμό Joukowski. Δηλαδή, τη σύμμορφη απεικόνιση μέσω της οποίας κύκλοι μετασχηματίζονται σε επίπεδα σχήματα που μοιάζουν με τις τομές ενός τρισδιάστατου πτερύγιου. Θεωρώντας ως μοντέλο ενός πτερύγιου έναν κύλινδρο ενιαίας τομής, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον μετασχηματισμό Joukowski για να μελετήσουμε αναλυτικά την ροή του αέρα γύρω από τα πτερύγια αεροπλάνων. Στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο, ασχολούμαστε με μία ακόμη εφαρμογή των μιγαδικών συναρτήσεων, αυτή τη φορά στην Ειδική Σχετικότητα. Ορίζουμε ένα νέο ζεύγος μιγαδικών συντεταγμένων, τις «προβολικές συντεταγμένες της σφαίρας» και την έννοια των σπινόρων. Ολοκληρώνουμε το τρίτο κεφάλαιο, ορίζοντας τα τετραδόνια (quaternions) κι εξηγώντας τη σχέση τους προς τις στροφές στον τρισδιάστατο χώρο και τους σπίνορες.