Sharp enclosures of the real roots of the classical parametric quadratic equation with one interval coefficient by the method of quantifier elimination
The method of quantifier elimination constitutes an interesting rather recent computational method in computer algebra implemented in few computer algebra systems. Here we apply this method to the determination of sharp enclosures of the two real roots (when there exist such roots) of the classical...
| Κύριος συγγραφέας: | |
|---|---|
| Άλλοι συγγραφείς: | |
| Μορφή: | Technical Report |
| Γλώσσα: | English |
| Έκδοση: |
2019
|
| Θέματα: | |
| Διαθέσιμο Online: | http://hdl.handle.net/10889/12159 |
| id |
nemertes-10889-12159 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| institution |
UPatras |
| collection |
Nemertes |
| language |
English |
| topic |
Quadratic equation Parametric equations Real roots Sharp enclosures Ranges Intervals Interval coefficients Interval parameters Interval arithmetic Interval analysis Interval variables Crisp variables Deterministic variables Quantifiers Quantified formulae Quantifier elimination Quantifier-free formulae Symbolic computations Computer algebra Computer algebra systems Minimization Maximization Mathematica Δευτεροβάθμια εξίσωση Παραμετρικές εξισώσεις Πραγματικές ρίζες Ακριβή διαστήματα Πεδία τιμών Διαστήματα Συντελεστές διαστήματος Παράμετροι διαστήματος Αριθμητική διαστημάτων Ανάλυση διαστημάτων Μεταβλητές διαστήματος Σαφείς μεταβλητές Προσδιορίσιμες μεταβλητές Ποσοδείκτες Τύποι με ποσοδείκτες Απαλοιφή ποσοδεικτών Τύποι χωρίς ποσοδείκτες Συμβολικοί υπολογισμοί Υπολογιστική άλγεβρα Συστήματα υπολογιστικής άλγεβρας Ελαχιστοποίηση Μεγιστοποίηση Mathematica |
| spellingShingle |
Quadratic equation Parametric equations Real roots Sharp enclosures Ranges Intervals Interval coefficients Interval parameters Interval arithmetic Interval analysis Interval variables Crisp variables Deterministic variables Quantifiers Quantified formulae Quantifier elimination Quantifier-free formulae Symbolic computations Computer algebra Computer algebra systems Minimization Maximization Mathematica Δευτεροβάθμια εξίσωση Παραμετρικές εξισώσεις Πραγματικές ρίζες Ακριβή διαστήματα Πεδία τιμών Διαστήματα Συντελεστές διαστήματος Παράμετροι διαστήματος Αριθμητική διαστημάτων Ανάλυση διαστημάτων Μεταβλητές διαστήματος Σαφείς μεταβλητές Προσδιορίσιμες μεταβλητές Ποσοδείκτες Τύποι με ποσοδείκτες Απαλοιφή ποσοδεικτών Τύποι χωρίς ποσοδείκτες Συμβολικοί υπολογισμοί Υπολογιστική άλγεβρα Συστήματα υπολογιστικής άλγεβρας Ελαχιστοποίηση Μεγιστοποίηση Mathematica Ioakimidis, Nikolaos Sharp enclosures of the real roots of the classical parametric quadratic equation with one interval coefficient by the method of quantifier elimination |
| description |
The method of quantifier elimination constitutes an interesting rather recent computational method in computer algebra implemented in few computer algebra systems. Here we apply this method to the determination of sharp enclosures of the two real roots (when there exist such roots) of the classical parametric quadratic equation (in its complete form with three parameters) with one interval coefficient, which is here an interval parameter, whereas the remaining two coefficients are crisp (deterministic) parameters. The powerful computer algebra system Mathematica is used in all the present computations. The classical closed-form formulae for the above two roots are not required in the present quantifier-elimination-based approach: only the original quadratic equation is employed during quantifier elimination. All three cases of parametric coefficients in the quadratic equation are studied in detail and sharp enclosures of its roots are derived in parametric forms. The present results are also verified by using minimization and maximization commands directly on the closed-form formulae for these two roots. Several numerical applications now with numerical (instead of parametric) intervals for the interval coefficient are also made. The present results are seen to be in complete agreement with previous related original results by Elishakoff and Daphnis, who appropriately used classical interval analysis and based their results on the classical closed-form formulae for these roots. Finally, the enclosures of the roots derived by the present approach are always sharp without any possibility of overestimation contrary to what happens in the classical interval-analysis-based approach, where overestimation may be present in some cases. |
| author2 |
Ιωακειμίδης, Νικόλαος |
| author_facet |
Ιωακειμίδης, Νικόλαος Ioakimidis, Nikolaos |
| format |
Technical Report |
| author |
Ioakimidis, Nikolaos |
| author_sort |
Ioakimidis, Nikolaos |
| title |
Sharp enclosures of the real roots of the classical parametric quadratic equation with one interval coefficient by the method of quantifier elimination |
| title_short |
Sharp enclosures of the real roots of the classical parametric quadratic equation with one interval coefficient by the method of quantifier elimination |
| title_full |
Sharp enclosures of the real roots of the classical parametric quadratic equation with one interval coefficient by the method of quantifier elimination |
| title_fullStr |
Sharp enclosures of the real roots of the classical parametric quadratic equation with one interval coefficient by the method of quantifier elimination |
| title_full_unstemmed |
Sharp enclosures of the real roots of the classical parametric quadratic equation with one interval coefficient by the method of quantifier elimination |
| title_sort |
sharp enclosures of the real roots of the classical parametric quadratic equation with one interval coefficient by the method of quantifier elimination |
| publishDate |
2019 |
| url |
http://hdl.handle.net/10889/12159 |
| work_keys_str_mv |
AT ioakimidisnikolaos sharpenclosuresoftherealrootsoftheclassicalparametricquadraticequationwithoneintervalcoefficientbythemethodofquantifierelimination AT ioakimidisnikolaos akribēdiastēmatagiatispragmatikesrizestēsklasikēsparametrikēsdeuterobathmiasexisōseōsmeenasyntelestēdiastēmatosmetēmethodotēsapaloiphēsposodeiktōn |
| _version_ |
1771297185943519232 |
| spelling |
nemertes-10889-121592022-09-05T09:40:14Z Sharp enclosures of the real roots of the classical parametric quadratic equation with one interval coefficient by the method of quantifier elimination Ακριβή διαστήματα για τις πραγματικές ρίζες της κλασικής παραμετρικής δευτεροβάθμιας εξισώσεως με ένα συντελεστή διαστήματος με τη μέθοδο της απαλοιφής ποσοδεικτών Ioakimidis, Nikolaos Ιωακειμίδης, Νικόλαος Quadratic equation Parametric equations Real roots Sharp enclosures Ranges Intervals Interval coefficients Interval parameters Interval arithmetic Interval analysis Interval variables Crisp variables Deterministic variables Quantifiers Quantified formulae Quantifier elimination Quantifier-free formulae Symbolic computations Computer algebra Computer algebra systems Minimization Maximization Mathematica Δευτεροβάθμια εξίσωση Παραμετρικές εξισώσεις Πραγματικές ρίζες Ακριβή διαστήματα Πεδία τιμών Διαστήματα Συντελεστές διαστήματος Παράμετροι διαστήματος Αριθμητική διαστημάτων Ανάλυση διαστημάτων Μεταβλητές διαστήματος Σαφείς μεταβλητές Προσδιορίσιμες μεταβλητές Ποσοδείκτες Τύποι με ποσοδείκτες Απαλοιφή ποσοδεικτών Τύποι χωρίς ποσοδείκτες Συμβολικοί υπολογισμοί Υπολογιστική άλγεβρα Συστήματα υπολογιστικής άλγεβρας Ελαχιστοποίηση Μεγιστοποίηση Mathematica The method of quantifier elimination constitutes an interesting rather recent computational method in computer algebra implemented in few computer algebra systems. Here we apply this method to the determination of sharp enclosures of the two real roots (when there exist such roots) of the classical parametric quadratic equation (in its complete form with three parameters) with one interval coefficient, which is here an interval parameter, whereas the remaining two coefficients are crisp (deterministic) parameters. The powerful computer algebra system Mathematica is used in all the present computations. The classical closed-form formulae for the above two roots are not required in the present quantifier-elimination-based approach: only the original quadratic equation is employed during quantifier elimination. All three cases of parametric coefficients in the quadratic equation are studied in detail and sharp enclosures of its roots are derived in parametric forms. The present results are also verified by using minimization and maximization commands directly on the closed-form formulae for these two roots. Several numerical applications now with numerical (instead of parametric) intervals for the interval coefficient are also made. The present results are seen to be in complete agreement with previous related original results by Elishakoff and Daphnis, who appropriately used classical interval analysis and based their results on the classical closed-form formulae for these roots. Finally, the enclosures of the roots derived by the present approach are always sharp without any possibility of overestimation contrary to what happens in the classical interval-analysis-based approach, where overestimation may be present in some cases. Η μέθοδος της απαλοιφής ποσοδεικτών αποτελεί μια ενδιαφέρουσα μάλλον πρόσφατη υπολογιστική μέθοδο στην υπολογιστική άλγεβρα υλοποιημένη σε λίγα συστήματα υπολογιστικής άλγεβρας. Εδώ εφαρμόζουμε αυτήν τη μέθοδο στον προσδιορισμό ακριβών διαστημάτων για τις δύο πραγματικές ρίζες (όταν υπάρχουν τέτοιες ρίζες) της κλασικής παραμετρικής δευτεροβάθμιας εξισώσεως (στην πλήρη μορφή της με τρεις παραμέτρους) με ένα συντελεστή διαστήματος, που είναι εδώ μια παράμετρος διαστήματος, ενώ οι υπόλοιποι δύο συντελεστές είναι σαφείς (προσδιορίσιμες) παράμετροι. Το ισχυρό σύστημα υπολογιστικής άλγεβρας Mathematica χρησιμοποιείται σε όλους τους παρόντες υπολογισμούς. Οι κλασικοί τύποι κλειστής μορφής για τις πιο πάνω δύο ρίζες δεν χρειάζονται στην παρούσα μέθοδο, που βασίζεται στην απαλοιφή ποσοδεικτών: μόνο η αρχική δευτεροβάθμια εξίσωση χρησιμοποιείται κατά τη διάρκεια της απαλοιφής ποσοδεικτών. Μελετώνται λεπτομερώς και οι τρεις περιπτώσεις παραμετρικών συντελεστών στη δευτεροβάθμια εξίσωση και βρίσκονται ακριβή διαστήματα για τις ρίζες της σε παραμετρικές μορφές. Τα παρόντα αποτελέσματα επαληθεύονται επίσης χρησιμοποιώντας εντολές ελαχιστοποιήσεως και μεγιστοποιήσεως κατευθείαν στους τύπους κλειστής μορφής γι' αυτές τις δύο ρίζες. Γίνονται επίσης αρκετές αριθμητικές εφαρμογές τώρα με αριθμητικά (αντί για παραμετρικά) διαστήματα για το συντελεστή διαστήματος. Διαπιστώνεται ότι τα παρόντα αποτελέσματα βρίσκονται σε πλήρη συμφωνία με προηγούμενα σχετικά πρωτότυπα αποτελέσματα από τους Elishakoff and Daphnis, οι οποίοι χρησιμοποίησαν κατάλληλα την κλασική ανάλυση διαστημάτων και βάσισαν τα αποτελέσματά τους στους κλασικούς τύπους κλειστής μορφής γι' αυτές τις ρίζες. Τελικά, τα διαστήματα για τις ρίζες που βρίσκονται με την παρούσα μέθοδο είναι πάντα ακριβή χωρίς καμία δυνατότητα υπερεκτιμήσεως αντίθετα με ό,τι συμβαίνει στην κλασική μέθοδο, που βασίζεται στην ανάλυση διαστημάτων, όπου μπορεί να παρουσιάζεται υπερεκτίμηση σε μερικές περιπτώσεις. 2019-05-24T05:39:29Z 2019-05-24T05:39:29Z 2019-04-19 Technical Report http://hdl.handle.net/10889/12159 en application/pdf |
