Μέθοδοι εντοπισμού περιοδικών λύσεων και υπολογισμού διακλαδώσεων μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων σε σύγχρονα προβλήματα εφαρμοσμένων επιστημών

• Κύριος συγγραφέας: Δούρης, Παναγιώτης
• Άλλοι συγγραφείς: Μαρκάκης, Μιχαήλ
• Μορφή: Thesis
• Γλώσσα: Greek
• Έκδοση: 2019
• Θέματα: Κεντρική πολλαπλότητα; Διακλαδώσεις; Οριακοί κύκλοι; Ασυμπτωτικές τροχιές; Κανονικές μορφές; Εκφυλισμένες διακλαδώσεις; 515.39; Center manifold; Bifurcations; Limit cycles; Asymptotic orbits; Normal forms; Degenerate bifurcations

Στο πλαίσιο της παρούσας εργασίας μελετώνται απλές και εκφυλισμένες, ανωτέρας συνδιαστάσεως (1,2,3) τοπικές διακλαδώσεις Hopf σε πολυδιάστατα και πολυπαραμετρικά διαφορικά συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων, εισάγεται μια νέα συμβολική μορφή για τον ταχύ και αποτελεσματικό περιορισμό του συστήματος στην κεντρική πολλαπλότητα και τον υπολογισμό των συνυφασμένων κανονικών μορφών και υλοποιούνται μέθοδοι εντοπισμού οριακών κύκλων, διακλαδιζομένων μέσω των προαναφερθεισών διακλαδώσεων, όπως η μέθοδος απλής σκοπεύσεως, η μέθοδος πολλαπλών σκοπεύσεων, η μέθοδος ορθογωνίου συγκατατάξεως με πεπερασμένα στοιχεία, η μέθοδος επιφανειών τομών Poincaré και μια τροποποίηση της μεθόδου αρμονικής εξισορροπήσεως, η οποία παράσχει αναλυτικές εκφράσεις των διακλαδιζομένων οριακών κύκλων προς εντοπισμό. Επιπροσθέτως, στην περίπτωση αριθμητικού εντοπισμού περιοδικών λύσεων με τη μέθοδο της ορθογωνίου συγκατατάξεως με πεπερασμένα στοιχεία, ο υλοποιηθείς αλγόριθμος επιτρέπει και έγινε εφαρμογή μεθόδων βελτιστοποιήσεως για την επίλυση των συνυφασμένων μη γραμμικών αλγεβρικών συστήματων που προκύπτουν από την εφαρμογή της μεθόδου. Επίσης, μελετήθηκαν καθολικές διακλαδώσεις και υλοποιήθηκαν αλγόριθμοι εντοπισμού καθολικών ασυμπτωτικώς συνδετικών τροχιών, όπως ομοκλινικών σε σημεία ισορροπίας, ετεροκλινικών ανάμεσα σε περιοδικές λύσεις, ετεροκλινικών ανάμεσα σε σημείο ισορροπίας και περιοδική λύση και ετεροκλινικές ανάμεσα σε σημεία ισορροπίας. Επίσης, οι ίδιοι αλγόριθμοι τροποποιήθηκαν κατάλληλα, έτσι ώστε να αξιοποιηθούν στην αριθμητική συνέχιση των τροχιών ενδιαφέροντος. Επιπροσθέτως, στο πλαίσιο της υλοποιήσεως αλγορίθμων αριθμητικού εντοπισμού ασυμπτωτικών τροχιών σε σημείο (ή σημεία) ισορροπίας, εισήχθησαν και χρησιμοποιήθηκαν συνοριακές συνθήκες υψηλής τάξεως ακριβείας, οι οποίες συμβάλλουν με καθοριστικό τρόπο στον ακριβέστερο και ταχύτερο εντοπισμό των τροχιών ενδιαφέροντος. Οι προαναφερθείσες μεθοδολογίες, τεχνικές και οι συνυφασμένοι αλγόριθμοι εφαρμόστηκαν στο πλαίσιο μελέτης συστημάτων από διαφορετικούς κλάδους των Eφαρμοσμένων Επιστημών, από τον κλάδο του Ηλεκτρολόγου Μηχανικού και άλλων Φυσικών Επιστημών, όπως για παράδειγμα στο σύστημα Lorenz, σε ένα γενικευμένο σύστημα Lorenz, σε ένα μοντέλο ενεργειακών πόρων, σε ένα μοντέλο λέιζερ κορεστού απορροφητή, σε συστήματα τροφικών αλυσίδων, σε οικονομικά μοντέλα, στο επίπεδο κυκλικώς περιορισμένο πρόβλημα των τριων σωμάτων και σε ένα βιοχημικό μοντέλο Atri. Επιπλέον, κατασκευάστηκε ένα επιδημιολογικό σύστημα τύπου SEIRS, στο οποίο έγινε μελέτη ευστάθειας. Eντοπίστηκε μια υπερκρίσιμη διακλάδωση Hopf συνδιαστάσεως 1, εντοπίστηκαν οι αντίστοιχοι διακλαδιζόμενοι οριακοί κύκλοι και μια ομοκλινική διακλάδωση σε ένα ενδημικό σημείο ισορροπίας και ετεροκλινικές, ασυμπτωτικώς συνδετικές τροχιές από σημείο ισορροπίας σε οριακό κύκλο και ετεροκλινικές τροχιές ανάμεσα σε σημεία ισορροπίας διαφορετικών τύπων.