| Περίληψη: | Στην παρούσα διπλωματική εργασία, αρχικά, μας απασχολεί το πρόβλημα των λέξεων για τα μονοειδή, το οποίο μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: ΄Εστω μία παρουσίαση ενός μονοειδούς με γεννήτορες και ισότητες. Υπάρχει αλγόριθμος που χρησιμοποιεί τις ισότητες και μπορεί να υπολογίσει σε πεπερασμένο χρόνο αν δύο τυχαίες λέξεις των γεννητόρων είναι ίσες; Αν η απάντηση είναι θετική τότε λέμε ότι το πρόβλημα των λέξεων είναι αποκρίσιμο. Παραθέτονται οι κανονικές παρουσιάσεις ενός μονοειδούς και επιδεικνύεται ο τρόπος με τον οποίο μία κανονική παρουσίαση με πεπερασμένους γεννήτορες και ισότητες μας εξασφαλίζει τη λύση του προβλήματος. ΄Ομως, υπάρχει πεπερασμένη κανονική παρουσίαση για κάθε μονοειδές που έχει αποκρίσιμο πρόβλημα; Ορίζονται οι ομολογιακές ομάδες του μονοειδούς και αποδεικνύεται ότι υπάρχει μία ομολογιακή συνθήκη που μας εξασφαλίζει ότι ένα μονοειδές δεν έχει πεπερασμένη κανονική παρουσίαση. Με αυτό απαντάται το παραπάνω ερώτημα αρνητικά με ένα αντιπαράδειγμα. Στη συνέχεια παρουσιάζεται μία επέκταση αυτής της ιδέας στις παρουσιάσεις αλγεβρικών θεωριών. Ορίζονται οι ομολογιακές ομάδες μίας αλγεβρικής θεωρίας και, όπως στην περίπτωση των μονοειδών, αυτές εμπεριέχουν πληροφορίες για το τι παρουσιάσεις μπορεί να επιδέχεται αυτή η θεωρία. Τέλος, υποπτευόμαστε μία βαθύτερη σύνδεση των δύο αυτών, παρόμοιων, εγχειρημάτων και παραθέτουμε τον τρόπο με τον οποίο οι αλγεβρικές θεωρίες είναι μονοειδή αντικείμενα μίας κατάλληλης μονοειδούς κατηγορίας.
|
|---|
