Το λήμμα του Farkas στη γραμμική βελτιστοποίηση

• Κύριος συγγραφέας: Μάντζιος, Αλέξανδρος
• Άλλοι συγγραφείς: Τζάντας, Νικόλαος
• Μορφή: Thesis
• Γλώσσα: Greek
• Έκδοση: 2020
• Θέματα: Γραμμικός προγραμματισμός; Γραμμική βελτιστοποίηση; Λήμμα Farkas; Linear programming; Linear ortimization; Farkas' lemma

Ο γραμμικός προγραμματισμός ή αλλιώς η γραμμική βελτιστοποίηση είναι ο κλάδος των Μαθηματικών που ασχολείται με την βελτιστοποίηση γραμμικών συναρτήσεων c 1 x 1 + c 2 x 2 + . . . + c n x n (c^2 x) κάτω από γραμμικούς ανισωτικούς περιορισμούς της μορφής α i1 x 1 + α i2 x 2 + . . . + α in x n ≤ b i (Ax ≤ b) Η σπουδαιότητα του συγκεκριμένου κλάδου φαίνεται στο γεγονός ότι αποτελεί ερ- γαλείο επιχειρήσεων προκειμένου αυτές να καταφέρουν να ελαχιστοποιήσουν τα έξοδά τους ή να μεγιστοποιήσουν τα κέρδη Κύριος εκπρόσωπος του γραμμικού προγραμματισμού είναι ο Αμερικανός μαθημα- τικός George B Dantzig ο οποίος αποτελεί τον εμπνευστή του αλγόριθμου simplex ενός από τους πιο διαδεδομένους τρόπους επίλυσης προβλημάτων γραμμικού προγραμματι- σμού Η παρούσα εργασία πραγματεύεται κυρίως το θεωρητικό υπόβαθρο πάνω στο οποίο στηρίζονται οι τρόποι επίλυσης τέτοιων προβλημάτων Ειδικότερα ασχολείται με το πότε και το γιατί μπορεί κανείς να γνωρίζει αν ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού έχει λύσεις και όχι με το πώς αυτό λύνεται Στο παραπάνω ερώτημα έρχεται να απαντήσει το λήμμα του Farkas το οποίο διευ- κρινίζει ποτέ ένα σύστημα της μορφής Ax ≤ b έχει λύσεις Στο τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας και αφού σε προηγούμενα κεφάλαια έχουν οριστεί οι έννοιες του γραμμικού προγραμματισμού της δυικότητας καθώς και έννοιες κυρτής ανάλυσης αναγκαίες για την κατανόηση του θεωρητικού υποβάθρου της εργασίας παρουσιάζεται εκτενώς το λήμμα του Farkas και αποδεικνύεται με δύο διαφορετικούς τρόπους