| Περίληψη: | Στην παρούσα Διπλωματική εργασία μελετήθηκε o έλεγχος μιας ειδικής κατηγορίας μη γραμμικών συστημάτων, τα συστήματα τύπου Lur’e στο συνεχή και στον διακριτό χρόνο και βασίστηκε στην χρήση πολυεδρικών συνόλων και πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov. Η ανάλυση και ο σχεδιασμός του ελέγχου έγινε με την χρήση πολυεδρικών συστημάτων σύγκρισης. Τα συστήματα αυτά είναι βασισμένα σε διαφορικές ανισώσεις και ανισώσεις διαφορών και χρησιμοποιούνται ώστε ανάγοντας το αρχικό σύστημα σε ένα σύστημα σύγκρισης και αναλύοντας το να διεξαχθούν συμπεράσματα για το αρχικό. Πιο συγκεκριμένα, αφού έγινε σύντομη αναφορά στις έννοιες της θετικής αμεταβλητότητας, της συστολικότητας, των διαφόρων ειδών ευστάθειας και σθεναρής ευστάθειας, του γενικευμένου λήμματος του Farkas και του γραμμικού και μη γραμμικού προγραμματισμού, προχωρήσαμε στην ανάλυση συστημάτων μέσω πολυεδρικών συστημάτων σύγκρισης. Σε αυτό το μέρος της εργασίας, παρουσιάσαμε τα θεωρήματα που μας εξασφαλίζουν την θετική αμεταβλητότητα και την συστολικότητα συνόλων των μη γραμμικών συστημάτων και τα εφαρμόσαμε στα συστήματα τύπου Lur’e, παρουσιάζοντας και επεξηγώντας τα αποτελέσματα. Επιπλέον, δείξαμε τον τρόπο που οδηγούμαστε στην ευστάθεια των συστημάτων αυτών, μέσω πολυεδρικών συστημάτων σύγκρισης και στην σύνθεση πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov οι οποίες συγκλίνουν εκθετικά.
Στο τελευταίο και πιο βασικό κομμάτι της εργασίας, γίνεται έλεγχος γραμμικής ανατροφοδότησης κατάστασης σε δύο περιπτώσεις προβλημάτων, που μπορούν να μοντελοποιηθούν από το σύστημα τύπου Lur’e.
Η πρώτη περίπτωση, είναι συστήματα με πολλαπλασιαστικό θόρυβο στο διάνυσμα ελέγχου όπου: στην μία υποπερίπτωση, έγινε ανάλυση σθεναρότητας του εύρους θορύβου σε ένα ήδη σχεδιασμένο νόμο ελέγχου για ένα γραμμικό σύστημα με περιορισμούς, ενώ στη δεύτερη υποπερίπτωση, έγινε σχεδιασμός βέλτιστου νόμου ελέγχου σε γραμμικό σύστημα με περιορισμούς και πολλαπλασιαστικό θόρυβο.
Η δεύτερη περίπτωση, είναι συστήματα με αβεβαιότητα στο μοντέλο τους ή στις παραμέτρους τους όπου: στην μία υποπερίπτωση, έγινε ανάλυση σθεναρότητας του εύρους της αβεβαιότητας έχοντας ένα γραμμικό σύστημα με περιορισμούς και ήδη σχεδιασμένο νόμο ελέγχου, ενώ στη δεύτερη υποπερίπτωση, έγινε σχεδιασμός βέλτιστου νόμου ελέγχου σε γραμμικό σύστημα με περιορισμούς και αβεβαιότητα. Τέλος, γίνεται εφαρμογή των παραπάνω θεωρημάτων και παρατηρήσεων στο πραγματικό χαοτικό σύστημα Chua circuit, όπου βρίσκουμε νόμο ελέγχου που κάνει ευσταθή μία περιοχή του χώρου κατάστασης του συστήματος. Αυτό το πετυχαίνουμε χρησιμοποιώντας την θεωρία εύρεσης θετικώς αμετάβλητων συνόλων για γραμμικά συστήματα και στην συνέχεια κάνουμε ανάλυση σθεναρότητας για το συγκεκριμένο εύρος που βρίσκεται η μη γραμμική συνιστώσα του μοντέλου του Chua circuit και καταλήγουμε στην εύρεση πολλαπλών ομοιόθετων τέτοιων περιοχών.
|
|---|
