| Περίληψη: | Η αδιαμφισβήτητη συμβολή των μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων σε ποικίλους επιστημονικούς κλάδους και ιδιαίτερα στα Μαθηματικά, ενέπνευσε την παρούσα διπλωματική εργασία η οποία πραγματεύεται τη μελέτη δύο μη γραμμικών μοντέλων. Πρόκειται για μονοπαραμετρικά μοντέλα της οικογένειας των απεικονίσεων ημιτόνου που παρουσιάζουν εξαιρετικά ενδιαφέρουσα συμπεριφορά, παρά την σχετικά απλή μορφή τους. Στις επόμενες παραγράφους καταθέτουμε συνοπτικά τη δομή της εργασίας.
Προτού ξεκινήσουμε τη μαθηματική μελέτη των επιλεγμένων μη γραμμικών μοντέλων, εισάγουμε στο Κεφάλαιο 1 τις βασικές έννοιες και τα μαθηματικά εργαλεία που θα χρησιμοποιήσουμε στην πορεία. Αρχικά, παράλληλα με μία μικρή ιστορική αναδρομή, εισάγουμε την έννοια του «ντετερμινιστικού χάους» (ή πιο απλά «χάους»). Στη συνέχεια, παρουσιάζουμε τους ορισμούς της απλής τροχιάς, των σταθερών και περιοδικών σημείων, καθώς και τα βασικά είδη διακλαδώσεων. Αναλύουμε την μέθοδο των διαγραμμάτων ιστού (cobwebs) και εξηγούμε τη σημασία και τη συμβολή του εκθέτη Lyapunov.
Η μελέτη ενός εκ των δύο επιλεγμένων μη γραμμικών μοντέλων ξεκινάει στο Κεφάλαιο 2, το οποίο πραγματεύεται την Απλή Απεικόνιση Ημιτόνου (simple Sine map). Η μελέτη περιλαμβάνει τη διερεύνηση των σταθερών σημείων της απεικόνισης, την ευστάθειά τους και την εξέλιξη της απεικόνισης. Σημαντική επίσης γίνεται η συμβολή του εκθέτη Lyapunov καθώς εξηγεί την (χαοτική) συμπεριφορά της απεικόνισης στο διάγραμμα διακλάδωσης που ακολουθεί. Τέλος, χρησιμοποιώντας το θεώρημα Metropolis [Metropolis et al., 1973], ερμηνεύουμε την παρατήρηση που αφορά την ποιοτική ομοιότητα (σχεδόν ταύτιση) της Απλής Απεικόνισης Ημιτόνου με την κλασική Λογιστική Απεικόνιση.
Εν συνεχεία, στο Κεφάλαιο 3 ακολουθεί η μελέτη της Γενικευμένης Απεικόνισης Ημιτόνου. Το συγκεκριμένο μοντέλο έγινε επίκεντρο του ενδιαφέροντός μας, καθώς αποτέλεσε μία πρωταρχική και απλούστερη μοντελοποίηση της αλληλεπίδρασης δύο συζευγμένων αρμονικών ταλαντωτών [Glass and Perez 1982], η οποία δύναται να περιγράψει την διέγερση των καρδιακών παλμών [Glass et al. 1984]. Για την ανάλυση της Γενικευμένης Απεικόνισης ημιτόνου ακολουθούμε την ίδια τακτική που χρησιμοποιήσαμε και στο Κεφάλαιο 2, ενώ ταυτόχρονα παραθέτουμε συγκρίσεις μεταξύ των 2 διακριτών μοντέλων. Παρόλο τη φαινομενικά μικρή αλλαγή στην αλγεβρική μορφή της απεικόνισης, οι αλλαγές που προκύπτουν στη δυναμική είναι εντυπωσιακές.
Εν κατακλείδι, στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζουμε τα συμπεράσματα της εν λόγω διπλωματικής εργασίας.
|
|---|
