Απεικόνιση ημιτόνου και μετάβαση στο χάος
Η αδιαμφισβήτητη συμβολή των μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων σε ποικίλους επιστημονικούς κλάδους και ιδιαίτερα στα Μαθηματικά, ενέπνευσε την παρούσα διπλωματική εργασία η οποία πραγματεύεται τη μελέτη δύο μη γραμμικών μοντέλων. Πρόκειται για μονοπαραμετρικά μοντέλα της οικογένειας των απεικονίσεων...
| Κύριος συγγραφέας: | |
|---|---|
| Άλλοι συγγραφείς: | |
| Γλώσσα: | Greek |
| Έκδοση: |
2020
|
| Θέματα: | |
| Διαθέσιμο Online: | http://hdl.handle.net/10889/14340 |
| id |
nemertes-10889-14340 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| institution |
UPatras |
| collection |
Nemertes |
| language |
Greek |
| topic |
Απεικόνιση ημιτόνου Χάος Εκθέτης Lyapunov Δυναμικά συστήματα Sine map Chaos Lyapunov exponent Dynamical systems |
| spellingShingle |
Απεικόνιση ημιτόνου Χάος Εκθέτης Lyapunov Δυναμικά συστήματα Sine map Chaos Lyapunov exponent Dynamical systems Γερούση, Ευαγγελία Απεικόνιση ημιτόνου και μετάβαση στο χάος |
| description |
Η αδιαμφισβήτητη συμβολή των μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων σε ποικίλους επιστημονικούς κλάδους και ιδιαίτερα στα Μαθηματικά, ενέπνευσε την παρούσα διπλωματική εργασία η οποία πραγματεύεται τη μελέτη δύο μη γραμμικών μοντέλων. Πρόκειται για μονοπαραμετρικά μοντέλα της οικογένειας των απεικονίσεων ημιτόνου που παρουσιάζουν εξαιρετικά ενδιαφέρουσα συμπεριφορά, παρά την σχετικά απλή μορφή τους. Στις επόμενες παραγράφους καταθέτουμε συνοπτικά τη δομή της εργασίας.
Προτού ξεκινήσουμε τη μαθηματική μελέτη των επιλεγμένων μη γραμμικών μοντέλων, εισάγουμε στο Κεφάλαιο 1 τις βασικές έννοιες και τα μαθηματικά εργαλεία που θα χρησιμοποιήσουμε στην πορεία. Αρχικά, παράλληλα με μία μικρή ιστορική αναδρομή, εισάγουμε την έννοια του «ντετερμινιστικού χάους» (ή πιο απλά «χάους»). Στη συνέχεια, παρουσιάζουμε τους ορισμούς της απλής τροχιάς, των σταθερών και περιοδικών σημείων, καθώς και τα βασικά είδη διακλαδώσεων. Αναλύουμε την μέθοδο των διαγραμμάτων ιστού (cobwebs) και εξηγούμε τη σημασία και τη συμβολή του εκθέτη Lyapunov.
Η μελέτη ενός εκ των δύο επιλεγμένων μη γραμμικών μοντέλων ξεκινάει στο Κεφάλαιο 2, το οποίο πραγματεύεται την Απλή Απεικόνιση Ημιτόνου (simple Sine map). Η μελέτη περιλαμβάνει τη διερεύνηση των σταθερών σημείων της απεικόνισης, την ευστάθειά τους και την εξέλιξη της απεικόνισης. Σημαντική επίσης γίνεται η συμβολή του εκθέτη Lyapunov καθώς εξηγεί την (χαοτική) συμπεριφορά της απεικόνισης στο διάγραμμα διακλάδωσης που ακολουθεί. Τέλος, χρησιμοποιώντας το θεώρημα Metropolis [Metropolis et al., 1973], ερμηνεύουμε την παρατήρηση που αφορά την ποιοτική ομοιότητα (σχεδόν ταύτιση) της Απλής Απεικόνισης Ημιτόνου με την κλασική Λογιστική Απεικόνιση.
Εν συνεχεία, στο Κεφάλαιο 3 ακολουθεί η μελέτη της Γενικευμένης Απεικόνισης Ημιτόνου. Το συγκεκριμένο μοντέλο έγινε επίκεντρο του ενδιαφέροντός μας, καθώς αποτέλεσε μία πρωταρχική και απλούστερη μοντελοποίηση της αλληλεπίδρασης δύο συζευγμένων αρμονικών ταλαντωτών [Glass and Perez 1982], η οποία δύναται να περιγράψει την διέγερση των καρδιακών παλμών [Glass et al. 1984]. Για την ανάλυση της Γενικευμένης Απεικόνισης ημιτόνου ακολουθούμε την ίδια τακτική που χρησιμοποιήσαμε και στο Κεφάλαιο 2, ενώ ταυτόχρονα παραθέτουμε συγκρίσεις μεταξύ των 2 διακριτών μοντέλων. Παρόλο τη φαινομενικά μικρή αλλαγή στην αλγεβρική μορφή της απεικόνισης, οι αλλαγές που προκύπτουν στη δυναμική είναι εντυπωσιακές.
Εν κατακλείδι, στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζουμε τα συμπεράσματα της εν λόγω διπλωματικής εργασίας. |
| author2 |
Gerousi, Evangelia |
| author_facet |
Gerousi, Evangelia Γερούση, Ευαγγελία |
| author |
Γερούση, Ευαγγελία |
| author_sort |
Γερούση, Ευαγγελία |
| title |
Απεικόνιση ημιτόνου και μετάβαση στο χάος |
| title_short |
Απεικόνιση ημιτόνου και μετάβαση στο χάος |
| title_full |
Απεικόνιση ημιτόνου και μετάβαση στο χάος |
| title_fullStr |
Απεικόνιση ημιτόνου και μετάβαση στο χάος |
| title_full_unstemmed |
Απεικόνιση ημιτόνου και μετάβαση στο χάος |
| title_sort |
απεικόνιση ημιτόνου και μετάβαση στο χάος |
| publishDate |
2020 |
| url |
http://hdl.handle.net/10889/14340 |
| work_keys_str_mv |
AT gerousēeuangelia apeikonisēēmitonoukaimetabasēstochaos AT gerousēeuangelia sinemapandtransitiontochaos |
| _version_ |
1771297197748387840 |
| spelling |
nemertes-10889-143402022-09-05T09:41:24Z Απεικόνιση ημιτόνου και μετάβαση στο χάος Sine map and transition to chaos Γερούση, Ευαγγελία Gerousi, Evangelia Απεικόνιση ημιτόνου Χάος Εκθέτης Lyapunov Δυναμικά συστήματα Sine map Chaos Lyapunov exponent Dynamical systems Η αδιαμφισβήτητη συμβολή των μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων σε ποικίλους επιστημονικούς κλάδους και ιδιαίτερα στα Μαθηματικά, ενέπνευσε την παρούσα διπλωματική εργασία η οποία πραγματεύεται τη μελέτη δύο μη γραμμικών μοντέλων. Πρόκειται για μονοπαραμετρικά μοντέλα της οικογένειας των απεικονίσεων ημιτόνου που παρουσιάζουν εξαιρετικά ενδιαφέρουσα συμπεριφορά, παρά την σχετικά απλή μορφή τους. Στις επόμενες παραγράφους καταθέτουμε συνοπτικά τη δομή της εργασίας. Προτού ξεκινήσουμε τη μαθηματική μελέτη των επιλεγμένων μη γραμμικών μοντέλων, εισάγουμε στο Κεφάλαιο 1 τις βασικές έννοιες και τα μαθηματικά εργαλεία που θα χρησιμοποιήσουμε στην πορεία. Αρχικά, παράλληλα με μία μικρή ιστορική αναδρομή, εισάγουμε την έννοια του «ντετερμινιστικού χάους» (ή πιο απλά «χάους»). Στη συνέχεια, παρουσιάζουμε τους ορισμούς της απλής τροχιάς, των σταθερών και περιοδικών σημείων, καθώς και τα βασικά είδη διακλαδώσεων. Αναλύουμε την μέθοδο των διαγραμμάτων ιστού (cobwebs) και εξηγούμε τη σημασία και τη συμβολή του εκθέτη Lyapunov. Η μελέτη ενός εκ των δύο επιλεγμένων μη γραμμικών μοντέλων ξεκινάει στο Κεφάλαιο 2, το οποίο πραγματεύεται την Απλή Απεικόνιση Ημιτόνου (simple Sine map). Η μελέτη περιλαμβάνει τη διερεύνηση των σταθερών σημείων της απεικόνισης, την ευστάθειά τους και την εξέλιξη της απεικόνισης. Σημαντική επίσης γίνεται η συμβολή του εκθέτη Lyapunov καθώς εξηγεί την (χαοτική) συμπεριφορά της απεικόνισης στο διάγραμμα διακλάδωσης που ακολουθεί. Τέλος, χρησιμοποιώντας το θεώρημα Metropolis [Metropolis et al., 1973], ερμηνεύουμε την παρατήρηση που αφορά την ποιοτική ομοιότητα (σχεδόν ταύτιση) της Απλής Απεικόνισης Ημιτόνου με την κλασική Λογιστική Απεικόνιση. Εν συνεχεία, στο Κεφάλαιο 3 ακολουθεί η μελέτη της Γενικευμένης Απεικόνισης Ημιτόνου. Το συγκεκριμένο μοντέλο έγινε επίκεντρο του ενδιαφέροντός μας, καθώς αποτέλεσε μία πρωταρχική και απλούστερη μοντελοποίηση της αλληλεπίδρασης δύο συζευγμένων αρμονικών ταλαντωτών [Glass and Perez 1982], η οποία δύναται να περιγράψει την διέγερση των καρδιακών παλμών [Glass et al. 1984]. Για την ανάλυση της Γενικευμένης Απεικόνισης ημιτόνου ακολουθούμε την ίδια τακτική που χρησιμοποιήσαμε και στο Κεφάλαιο 2, ενώ ταυτόχρονα παραθέτουμε συγκρίσεις μεταξύ των 2 διακριτών μοντέλων. Παρόλο τη φαινομενικά μικρή αλλαγή στην αλγεβρική μορφή της απεικόνισης, οι αλλαγές που προκύπτουν στη δυναμική είναι εντυπωσιακές. Εν κατακλείδι, στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζουμε τα συμπεράσματα της εν λόγω διπλωματικής εργασίας. The contribution of non-linear dynamical systems in many different scientific fields and particularly in Mathematics was an inspiration for the present diploma thesis which deals with two non-linear dynamical models. These models belong to a monoparametric family of sine functions and they present an interesting behavior, despite their simple form. In the following paragraphs, we are giving a synopsis of the structure of the project. Before we start the analysis of the chosen non-linear models, from its mathematical perspective, in chapter 1 we display the theoretical background needed. Firstly, we insert the meaning of Deterministic Chaos and then the definitions of the simple orbit, the fixed point, the periodic points, and the basic kinds of bifurcations. Moreover, we analyze the cobweb method which we will be used frequently, and we also explain the meaning of the Lyapunov exponent. In chapter 2 we begin by analyzing the first non-linear model, the Sine simple map. The analysis contains the investigation of the fixed points, the study of their stability, and hence the behavior of the model. It is also important to mention the contribution of the Lyapunov exponent, as it explains the chaotic behavior of the model at the bifurcation diagram that follows. In the end, by implementing the Metropolis Theorem [Metropolis et al., 1973], we discuss the observed qualitative similarity between the Sine simple map and the Logistic map. Furthermore, chapter 3 refers to the analysis of Sine map, a non-linear model that describes the interaction of two coupled harmonic oscillators [Glass and Perez 1982], which was the first attempt at simulating the beating cardiac cells [Glass et al., 1984]. The mathematical methods we use for the analysis of the aformentioned model are similar to the previous one in chapter 2. Also, we comment on the comparison of the results obtained. Despite the minor changes on their algebraic form, the dynamics of these two models are impressively different. Finally, in chapter 4 we present the conclusions of this diploma thesis. 2020-12-08T15:28:26Z 2020-12-08T15:28:26Z 2020-07-22 http://hdl.handle.net/10889/14340 gr application/pdf |
