| Περίληψη: | Μας είναι οικείο από τη μαθηματική μας εμπειρία ότι για κάθε είδος αλγεβρικής δομής υπάρχουν οι ελεύθερες δομές επί των οποιωνδήποτε συνόλων. Η θεωρία κατηγοριών ξεκίνησε ορμώμενη από τη δυνατότητα που παρείχε στη μαθηματική κοινότητα να μεταφράσει και να περιγράψει τις καθολικές ιδιότητες τέτοιων δομών και να περιγράψει γενικούς τρόπους κατασκευής τους, συνεισφέροντας ουσιαστικά στους σύγχρονους κλάδους της εκάστοτε εποχής όπως η ομολογιακή άλγεβρα, η αλγεβρική γεωμετρία, ή στην εποχή μας η (αφηρημένη) ομοτοπική θεωρία κ.α.
Η αφετηριακή ιδέα της παρούσας εργασίας έχει να κάνει με την ισοδυναμία μεταξύ των αλγεβρικών θεωριών και της κατηγορίας των μονάδων που επάγονται από αυτές, που μας επιτρέπει να μιλήσουμε για τις αλγεβρικές θεωρίες μέσω της θεωρίας των μονάδων. Γενικεύοντας τη βασική αυτή ιδέα, η παρούσα εργασία ασχολείται με την εύρεση των κατάλληλων εργαλείων και των αντίστοιχων προϋποθέσεων που μας επιτρέπουν να ασχοληθούμε με ένα ευρύ φάσμα γενικευμένων αλγεβρικών θεωριών που καλούνται Τ-αλγεβρικές θεωρίες και να περιγράψουμε την κατασκευή ελεύθερων δομών για τις θεωρίες αυτές.
Στο εισαγωγικό κεφάλαιο παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες της κλασικής θεωρίας κατηγοριών καθώς και τα κυριότερα παραδείγματα ενδιαφέροντος. Στο πρώτο κεφάλαιο ορίζονται επιπροσθέτως οι απαραίτητες έννοιες για τους στόχους της εργασίας ολοκληρώνοντας με την παρουσίαση του χώρου των δικατηγοριών και των (ψευδο-)μονάδων τους, πάνω στις οποίες θα εργαστούμε στη συνέχεια. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι δύο βασικοί μηχανισμοί που καθιστούν εφικτό τον υπολογισμό ελεύθερων δομών σε Τ-αλγεβρικές θεωρίες. Συγκεκριμένα αναλύεται η θεωρία των προσυναρτητών και παρουσιάζεται μια αξιωματικοποίηση της σχέσης τους με τις κατηγορίες μέσω της έννοιας των «εξαρτημάτων προμορφισμών» (proarrow equipments). Αφού εκφραστούν οι βασικές κατηγορικές έννοιες της αναπαραστασιμότητας και της επέκτασης Yoneda σε αυτό το υψηλότερο κατηγορικό επίπεδο, ολοκληρώνουμε με τη διατύπωση δύο ικανών συνθηκών που εξασφαλίζουν την ύπαρξη ελεύθερων μοντέλων μέσα στις Τ-αλγεβρικές θεωρίες, καθώς και τον τρόπο που υπολογίζονται μέσω των επεκτάσεων Kan.
|
|---|
