Κατηγορικοί μηχανισμοί προσδιορισμού ελεύθερων δομών επί γενικευμένων αλγεβρικών θεωριών
Μας είναι οικείο από τη μαθηματική μας εμπειρία ότι για κάθε είδος αλγεβρικής δομής υπάρχουν οι ελεύθερες δομές επί των οποιωνδήποτε συνόλων. Η θεωρία κατηγοριών ξεκίνησε ορμώμενη από τη δυνατότητα που παρείχε στη μαθηματική κοινότητα να μεταφράσει και να περιγράψει τις καθολικές ιδιότητες τέτοιων δ...
| Κύριος συγγραφέας: | |
|---|---|
| Άλλοι συγγραφείς: | |
| Γλώσσα: | Greek |
| Έκδοση: |
2021
|
| Θέματα: | |
| Διαθέσιμο Online: | http://hdl.handle.net/10889/15300 |
| id |
nemertes-10889-15300 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| institution |
UPatras |
| collection |
Nemertes |
| language |
Greek |
| topic |
Προσαρτήσεις Αλγεβρικές θεωρίες Ελεύθερες δομές Επεκτάσεις Kan Ψευδομονάδες Προσυναρτητές Εξαρτήματα προμορφισμών Adjunctions Algebraic theories Free constructions Kan extensions Pseudomonads Profunctors Proarrow equipments |
| spellingShingle |
Προσαρτήσεις Αλγεβρικές θεωρίες Ελεύθερες δομές Επεκτάσεις Kan Ψευδομονάδες Προσυναρτητές Εξαρτήματα προμορφισμών Adjunctions Algebraic theories Free constructions Kan extensions Pseudomonads Profunctors Proarrow equipments Κωστακιώτης, Ανδρέας Κατηγορικοί μηχανισμοί προσδιορισμού ελεύθερων δομών επί γενικευμένων αλγεβρικών θεωριών |
| description |
Μας είναι οικείο από τη μαθηματική μας εμπειρία ότι για κάθε είδος αλγεβρικής δομής υπάρχουν οι ελεύθερες δομές επί των οποιωνδήποτε συνόλων. Η θεωρία κατηγοριών ξεκίνησε ορμώμενη από τη δυνατότητα που παρείχε στη μαθηματική κοινότητα να μεταφράσει και να περιγράψει τις καθολικές ιδιότητες τέτοιων δομών και να περιγράψει γενικούς τρόπους κατασκευής τους, συνεισφέροντας ουσιαστικά στους σύγχρονους κλάδους της εκάστοτε εποχής όπως η ομολογιακή άλγεβρα, η αλγεβρική γεωμετρία, ή στην εποχή μας η (αφηρημένη) ομοτοπική θεωρία κ.α.
Η αφετηριακή ιδέα της παρούσας εργασίας έχει να κάνει με την ισοδυναμία μεταξύ των αλγεβρικών θεωριών και της κατηγορίας των μονάδων που επάγονται από αυτές, που μας επιτρέπει να μιλήσουμε για τις αλγεβρικές θεωρίες μέσω της θεωρίας των μονάδων. Γενικεύοντας τη βασική αυτή ιδέα, η παρούσα εργασία ασχολείται με την εύρεση των κατάλληλων εργαλείων και των αντίστοιχων προϋποθέσεων που μας επιτρέπουν να ασχοληθούμε με ένα ευρύ φάσμα γενικευμένων αλγεβρικών θεωριών που καλούνται Τ-αλγεβρικές θεωρίες και να περιγράψουμε την κατασκευή ελεύθερων δομών για τις θεωρίες αυτές.
Στο εισαγωγικό κεφάλαιο παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες της κλασικής θεωρίας κατηγοριών καθώς και τα κυριότερα παραδείγματα ενδιαφέροντος. Στο πρώτο κεφάλαιο ορίζονται επιπροσθέτως οι απαραίτητες έννοιες για τους στόχους της εργασίας ολοκληρώνοντας με την παρουσίαση του χώρου των δικατηγοριών και των (ψευδο-)μονάδων τους, πάνω στις οποίες θα εργαστούμε στη συνέχεια. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι δύο βασικοί μηχανισμοί που καθιστούν εφικτό τον υπολογισμό ελεύθερων δομών σε Τ-αλγεβρικές θεωρίες. Συγκεκριμένα αναλύεται η θεωρία των προσυναρτητών και παρουσιάζεται μια αξιωματικοποίηση της σχέσης τους με τις κατηγορίες μέσω της έννοιας των «εξαρτημάτων προμορφισμών» (proarrow equipments). Αφού εκφραστούν οι βασικές κατηγορικές έννοιες της αναπαραστασιμότητας και της επέκτασης Yoneda σε αυτό το υψηλότερο κατηγορικό επίπεδο, ολοκληρώνουμε με τη διατύπωση δύο ικανών συνθηκών που εξασφαλίζουν την ύπαρξη ελεύθερων μοντέλων μέσα στις Τ-αλγεβρικές θεωρίες, καθώς και τον τρόπο που υπολογίζονται μέσω των επεκτάσεων Kan. |
| author2 |
Kostakiotis, Andreas |
| author_facet |
Kostakiotis, Andreas Κωστακιώτης, Ανδρέας |
| author |
Κωστακιώτης, Ανδρέας |
| author_sort |
Κωστακιώτης, Ανδρέας |
| title |
Κατηγορικοί μηχανισμοί προσδιορισμού ελεύθερων δομών επί γενικευμένων αλγεβρικών θεωριών |
| title_short |
Κατηγορικοί μηχανισμοί προσδιορισμού ελεύθερων δομών επί γενικευμένων αλγεβρικών θεωριών |
| title_full |
Κατηγορικοί μηχανισμοί προσδιορισμού ελεύθερων δομών επί γενικευμένων αλγεβρικών θεωριών |
| title_fullStr |
Κατηγορικοί μηχανισμοί προσδιορισμού ελεύθερων δομών επί γενικευμένων αλγεβρικών θεωριών |
| title_full_unstemmed |
Κατηγορικοί μηχανισμοί προσδιορισμού ελεύθερων δομών επί γενικευμένων αλγεβρικών θεωριών |
| title_sort |
κατηγορικοί μηχανισμοί προσδιορισμού ελεύθερων δομών επί γενικευμένων αλγεβρικών θεωριών |
| publishDate |
2021 |
| url |
http://hdl.handle.net/10889/15300 |
| work_keys_str_mv |
AT kōstakiōtēsandreas katēgorikoimēchanismoiprosdiorismoueleutherōndomōnepigenikeumenōnalgebrikōntheōriōn AT kōstakiōtēsandreas categoricalmechanismscomputingfreestructuresovergeneralisedalgebraictheories |
| _version_ |
1771297307953725440 |
| spelling |
nemertes-10889-153002022-09-05T20:12:45Z Κατηγορικοί μηχανισμοί προσδιορισμού ελεύθερων δομών επί γενικευμένων αλγεβρικών θεωριών Categorical mechanisms computing free structures over generalised algebraic theories Κωστακιώτης, Ανδρέας Kostakiotis, Andreas Προσαρτήσεις Αλγεβρικές θεωρίες Ελεύθερες δομές Επεκτάσεις Kan Ψευδομονάδες Προσυναρτητές Εξαρτήματα προμορφισμών Adjunctions Algebraic theories Free constructions Kan extensions Pseudomonads Profunctors Proarrow equipments Μας είναι οικείο από τη μαθηματική μας εμπειρία ότι για κάθε είδος αλγεβρικής δομής υπάρχουν οι ελεύθερες δομές επί των οποιωνδήποτε συνόλων. Η θεωρία κατηγοριών ξεκίνησε ορμώμενη από τη δυνατότητα που παρείχε στη μαθηματική κοινότητα να μεταφράσει και να περιγράψει τις καθολικές ιδιότητες τέτοιων δομών και να περιγράψει γενικούς τρόπους κατασκευής τους, συνεισφέροντας ουσιαστικά στους σύγχρονους κλάδους της εκάστοτε εποχής όπως η ομολογιακή άλγεβρα, η αλγεβρική γεωμετρία, ή στην εποχή μας η (αφηρημένη) ομοτοπική θεωρία κ.α. Η αφετηριακή ιδέα της παρούσας εργασίας έχει να κάνει με την ισοδυναμία μεταξύ των αλγεβρικών θεωριών και της κατηγορίας των μονάδων που επάγονται από αυτές, που μας επιτρέπει να μιλήσουμε για τις αλγεβρικές θεωρίες μέσω της θεωρίας των μονάδων. Γενικεύοντας τη βασική αυτή ιδέα, η παρούσα εργασία ασχολείται με την εύρεση των κατάλληλων εργαλείων και των αντίστοιχων προϋποθέσεων που μας επιτρέπουν να ασχοληθούμε με ένα ευρύ φάσμα γενικευμένων αλγεβρικών θεωριών που καλούνται Τ-αλγεβρικές θεωρίες και να περιγράψουμε την κατασκευή ελεύθερων δομών για τις θεωρίες αυτές. Στο εισαγωγικό κεφάλαιο παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες της κλασικής θεωρίας κατηγοριών καθώς και τα κυριότερα παραδείγματα ενδιαφέροντος. Στο πρώτο κεφάλαιο ορίζονται επιπροσθέτως οι απαραίτητες έννοιες για τους στόχους της εργασίας ολοκληρώνοντας με την παρουσίαση του χώρου των δικατηγοριών και των (ψευδο-)μονάδων τους, πάνω στις οποίες θα εργαστούμε στη συνέχεια. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι δύο βασικοί μηχανισμοί που καθιστούν εφικτό τον υπολογισμό ελεύθερων δομών σε Τ-αλγεβρικές θεωρίες. Συγκεκριμένα αναλύεται η θεωρία των προσυναρτητών και παρουσιάζεται μια αξιωματικοποίηση της σχέσης τους με τις κατηγορίες μέσω της έννοιας των «εξαρτημάτων προμορφισμών» (proarrow equipments). Αφού εκφραστούν οι βασικές κατηγορικές έννοιες της αναπαραστασιμότητας και της επέκτασης Yoneda σε αυτό το υψηλότερο κατηγορικό επίπεδο, ολοκληρώνουμε με τη διατύπωση δύο ικανών συνθηκών που εξασφαλίζουν την ύπαρξη ελεύθερων μοντέλων μέσα στις Τ-αλγεβρικές θεωρίες, καθώς και τον τρόπο που υπολογίζονται μέσω των επεκτάσεων Kan. It is well known from our mathematical experience that for each kind of algebraic structure there are free structures over the arbitrary sets. Category theory started driven by the fact that it enabled the mathematical description of the universal properties of such structures and provided general methods for their constructions, contributing in a meaningful way to the contemporary fields of mathematics of different periods such as homological algebra, algebraic geometry and more recently to (abstract) homotopy theory. The fundamental idea of the present work is that of the equivalence between algebraic theories and the category of the monads they induce, which makes the study of algebraic theories via monad theory viable. Generalizing this basic idea, we formulate the appropriate mathematical tools and conditions that enable us to work with more general algebraic theories, called T-algebraic theories and describe the construction of free structure for such theories. In the introduction chapter we present the basic definitions of interest from category theory as well as the most important examples for the remainder of this thesis. In the first chapter additional definitions of the necessary notions are provided, concluding with the presentation of bicategories and their (pseudo)monads which will be the main area of interest for the remaining chapters. In the second chapter we present the two main mechanisms that allow us to compute free structures on T-algebraic theories. More explicitly we discuss in detail the theory of profunctors (also known as distributors) as well as the axiomatization of their relation to categories, via proarrow equipments. Upon expressing the essential categorical notions of representability and Yoneda extension in the context of higher category theory, we conclude with the main theorem which formulates two sufficient conditions that guarantee not only the existence of free models of T-algebraic theories, but also that they are computed via Kan extensions. 2021-10-12T06:14:31Z 2021-10-12T06:14:31Z 2021-08-30 http://hdl.handle.net/10889/15300 gr application/pdf |
