| Περίληψη: | Στη σημερινή εποχή, οι μέθοδοι βελτιστοποίησης ή πιο συγκεκριμένα οι μέθοδοι εύρεσης του ελάχιστου μιας συνάρτησης έχουν παίξει καθοριστικό ρόλο στον τομέα των μαθηματικών. Τα τελευταία χρόνια, η εφαρμογή αυτών των μεθόδων έχει κινήσει το ενδιαφέρον σε πολλούς επιστήμονες, καθώς η επίλυση πολλών προβλημάτων και ποικίλων εφαρμογών ήταν αδύνατον να γίνει χωρίς τη βελτιστοποίηση. Το αντικείμενο αυτής της διπλωματικής εργασίας περιστρέφεται γύρω από αριθμητικές μεθόδους για τη βελτιστοποίηση συναρτήσεων χωρίς περιορισμούς. Η υλοποίηση των αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης πραγματοποιήθηκε με τη βοήθεια της γλώσσας προγραμματισμού Python.
Το πρώτο κεφάλαιο της εργασίας εστιάζει στην κατανόηση της έννοιας της βελτιστοποίησης. Αναφέρονται επίσης, οι κατηγορίες που διακρίνονται αλλά και μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την προσέγγιση των προβλημάτων αυτών. Τέλος, παρουσιάζονται μερικοί βασικοί ορισμοί της γραμμικής άλγεβρας, απαραίτητοι για την κατανόηση των μεθόδων βελτιστοποίησης.
Το δεύτερο κεφάλαιο αναφέρεται στις κυρτές συναρτήσεις. Η βελτιστοποίηση των συναρτήσεων αυτών γίνεται με χρήση της μεθόδου Newton Bracketing (Κεφάλαιο 4), οπότε είναι σημαντική η κατανόησή τους.
Στο τρίτο κεφάλαιο περιγράφονται δύο μέθοδοι βελτιστοποίησης συναρτήσεων (Steepest Descent, Conjugate Gradient). Αναπτύσσονται οι αλγόριθμοι των μεθόδων σε φυσική γλώσσα καθώς επίσης και η γεωμετρική ερμηνεία τους.
Στο τέταρτο κεφάλαιο αναπτύσσεται η μέθοδος ελαχιστοποίησης Newton Bracketing για κυρτές συναρτήσεις. Παρατίθενται θεωρήματα, ανάπτυξη του αλγόριθμου σε φυσική γλώσσα και η γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου.
Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο γίνεται η αριθμητική αποτίμηση της μεθόδου Newton Bracketing με χρήση κώδικα στη γλώσσα προγραμματισμού Python, αλλά και η σύγκριση της μεθόδου με την μέθοδο Conjugate Gradient.
|
|---|
