Η μέθοδος Newton για κυρτές συναρτήσεις
Στη σημερινή εποχή, οι μέθοδοι βελτιστοποίησης ή πιο συγκεκριμένα οι μέθοδοι εύρεσης του ελάχιστου μιας συνάρτησης έχουν παίξει καθοριστικό ρόλο στον τομέα των μαθηματικών. Τα τελευταία χρόνια, η εφαρμογή αυτών των μεθόδων έχει κινήσει το ενδιαφέρον σε πολλούς επιστήμονες, καθώς η επίλυση πολλών προ...
| Κύριος συγγραφέας: | |
|---|---|
| Άλλοι συγγραφείς: | |
| Γλώσσα: | Greek |
| Έκδοση: |
2021
|
| Θέματα: | |
| Διαθέσιμο Online: | http://hdl.handle.net/10889/15301 |
| id |
nemertes-10889-15301 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nemertes-10889-153012022-09-05T14:08:17Z Η μέθοδος Newton για κυρτές συναρτήσεις The Newton method for convex functions Καραμήτου, Αναστασία Karamitou, Anastasia Βελτιστοποίηση Κυρτές συναρτήσεις Optimization Steepest descent Conjugate gradient Newton bracketing Convex functions Python Στη σημερινή εποχή, οι μέθοδοι βελτιστοποίησης ή πιο συγκεκριμένα οι μέθοδοι εύρεσης του ελάχιστου μιας συνάρτησης έχουν παίξει καθοριστικό ρόλο στον τομέα των μαθηματικών. Τα τελευταία χρόνια, η εφαρμογή αυτών των μεθόδων έχει κινήσει το ενδιαφέρον σε πολλούς επιστήμονες, καθώς η επίλυση πολλών προβλημάτων και ποικίλων εφαρμογών ήταν αδύνατον να γίνει χωρίς τη βελτιστοποίηση. Το αντικείμενο αυτής της διπλωματικής εργασίας περιστρέφεται γύρω από αριθμητικές μεθόδους για τη βελτιστοποίηση συναρτήσεων χωρίς περιορισμούς. Η υλοποίηση των αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης πραγματοποιήθηκε με τη βοήθεια της γλώσσας προγραμματισμού Python. Το πρώτο κεφάλαιο της εργασίας εστιάζει στην κατανόηση της έννοιας της βελτιστοποίησης. Αναφέρονται επίσης, οι κατηγορίες που διακρίνονται αλλά και μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την προσέγγιση των προβλημάτων αυτών. Τέλος, παρουσιάζονται μερικοί βασικοί ορισμοί της γραμμικής άλγεβρας, απαραίτητοι για την κατανόηση των μεθόδων βελτιστοποίησης. Το δεύτερο κεφάλαιο αναφέρεται στις κυρτές συναρτήσεις. Η βελτιστοποίηση των συναρτήσεων αυτών γίνεται με χρήση της μεθόδου Newton Bracketing (Κεφάλαιο 4), οπότε είναι σημαντική η κατανόησή τους. Στο τρίτο κεφάλαιο περιγράφονται δύο μέθοδοι βελτιστοποίησης συναρτήσεων (Steepest Descent, Conjugate Gradient). Αναπτύσσονται οι αλγόριθμοι των μεθόδων σε φυσική γλώσσα καθώς επίσης και η γεωμετρική ερμηνεία τους. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναπτύσσεται η μέθοδος ελαχιστοποίησης Newton Bracketing για κυρτές συναρτήσεις. Παρατίθενται θεωρήματα, ανάπτυξη του αλγόριθμου σε φυσική γλώσσα και η γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο γίνεται η αριθμητική αποτίμηση της μεθόδου Newton Bracketing με χρήση κώδικα στη γλώσσα προγραμματισμού Python, αλλά και η σύγκριση της μεθόδου με την μέθοδο Conjugate Gradient. Nowadays, optimization methods or more specifically methods for finding at least one function, have played a decisive role in the field of mathematics. In recent years, the application of these methods has aroused the interest of many scientists, as the solution of many problems and various applications was impossible to do without optimization. The object of this diploma thesis revolves around numerical methods for optimizing functions without constraints. The implementation of numerical methods to solve the optimization problem was performed using the Python programming language. The first chapter of this paper focuses on understanding the concept of optimization. The categories that are distinguished are also mentioned, as well as the methods used to approach these problems. Finally, some basic definitions of linear algebra are presented, necessary for the understanding of optimization methods. The second chapter deals with convex functions. These functions are optimized using the Newton Bracketing method (Chapter 4), so it is important to understand them. The third chapter describes two methods of optimizing functions (Steepest Descent, Conjugate Gradient). The algorithms of these methods in natural language are developed as well as their geometric interpretation. Chapter 4 develops the Newton Bracketing minimization method for convex functions. Theorems, algorithm development in natural language and the geometric interpretation of the method are presented. Finally, in the fifth chapter, the Newton Bracketing method is numerically evaluated using code in the Python programming language. The method is also compared with the Conjugate Gradient method. 2021-10-12T06:16:10Z 2021-10-12T06:16:10Z 2021-09-22 http://hdl.handle.net/10889/15301 gr application/pdf |
| institution |
UPatras |
| collection |
Nemertes |
| language |
Greek |
| topic |
Βελτιστοποίηση Κυρτές συναρτήσεις Optimization Steepest descent Conjugate gradient Newton bracketing Convex functions Python |
| spellingShingle |
Βελτιστοποίηση Κυρτές συναρτήσεις Optimization Steepest descent Conjugate gradient Newton bracketing Convex functions Python Καραμήτου, Αναστασία Η μέθοδος Newton για κυρτές συναρτήσεις |
| description |
Στη σημερινή εποχή, οι μέθοδοι βελτιστοποίησης ή πιο συγκεκριμένα οι μέθοδοι εύρεσης του ελάχιστου μιας συνάρτησης έχουν παίξει καθοριστικό ρόλο στον τομέα των μαθηματικών. Τα τελευταία χρόνια, η εφαρμογή αυτών των μεθόδων έχει κινήσει το ενδιαφέρον σε πολλούς επιστήμονες, καθώς η επίλυση πολλών προβλημάτων και ποικίλων εφαρμογών ήταν αδύνατον να γίνει χωρίς τη βελτιστοποίηση. Το αντικείμενο αυτής της διπλωματικής εργασίας περιστρέφεται γύρω από αριθμητικές μεθόδους για τη βελτιστοποίηση συναρτήσεων χωρίς περιορισμούς. Η υλοποίηση των αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης πραγματοποιήθηκε με τη βοήθεια της γλώσσας προγραμματισμού Python.
Το πρώτο κεφάλαιο της εργασίας εστιάζει στην κατανόηση της έννοιας της βελτιστοποίησης. Αναφέρονται επίσης, οι κατηγορίες που διακρίνονται αλλά και μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την προσέγγιση των προβλημάτων αυτών. Τέλος, παρουσιάζονται μερικοί βασικοί ορισμοί της γραμμικής άλγεβρας, απαραίτητοι για την κατανόηση των μεθόδων βελτιστοποίησης.
Το δεύτερο κεφάλαιο αναφέρεται στις κυρτές συναρτήσεις. Η βελτιστοποίηση των συναρτήσεων αυτών γίνεται με χρήση της μεθόδου Newton Bracketing (Κεφάλαιο 4), οπότε είναι σημαντική η κατανόησή τους.
Στο τρίτο κεφάλαιο περιγράφονται δύο μέθοδοι βελτιστοποίησης συναρτήσεων (Steepest Descent, Conjugate Gradient). Αναπτύσσονται οι αλγόριθμοι των μεθόδων σε φυσική γλώσσα καθώς επίσης και η γεωμετρική ερμηνεία τους.
Στο τέταρτο κεφάλαιο αναπτύσσεται η μέθοδος ελαχιστοποίησης Newton Bracketing για κυρτές συναρτήσεις. Παρατίθενται θεωρήματα, ανάπτυξη του αλγόριθμου σε φυσική γλώσσα και η γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου.
Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο γίνεται η αριθμητική αποτίμηση της μεθόδου Newton Bracketing με χρήση κώδικα στη γλώσσα προγραμματισμού Python, αλλά και η σύγκριση της μεθόδου με την μέθοδο Conjugate Gradient. |
| author2 |
Karamitou, Anastasia |
| author_facet |
Karamitou, Anastasia Καραμήτου, Αναστασία |
| author |
Καραμήτου, Αναστασία |
| author_sort |
Καραμήτου, Αναστασία |
| title |
Η μέθοδος Newton για κυρτές συναρτήσεις |
| title_short |
Η μέθοδος Newton για κυρτές συναρτήσεις |
| title_full |
Η μέθοδος Newton για κυρτές συναρτήσεις |
| title_fullStr |
Η μέθοδος Newton για κυρτές συναρτήσεις |
| title_full_unstemmed |
Η μέθοδος Newton για κυρτές συναρτήσεις |
| title_sort |
η μέθοδος newton για κυρτές συναρτήσεις |
| publishDate |
2021 |
| url |
http://hdl.handle.net/10889/15301 |
| work_keys_str_mv |
AT karamētouanastasia ēmethodosnewtongiakyrtessynartēseis AT karamētouanastasia thenewtonmethodforconvexfunctions |
| _version_ |
1801184882962989056 |
