| Summary: | Το αντικείμενο της παρούσας Διπλωματικής Εργασίας είναι η επισκόπηση του θεωρήματος του Bezout. Στο πρώτο κεφάλαιο εξετάζουμε το προβολικό επίπεδο, τις προβολικές καμπύλες και αναφέρουμε κάποιες εισαγωγικές έννοιες της Αλγεβρικής Γεωμετρίας. Στην συνέχεια εξετάζουμε τον δείκτη τομής ο οποίος εκφράζει την πολλαπλότητα με την οποία τέμνονται δύο αλγεβρικές καμπύλες. Δίνουμε τον ορισμό του, αναφέρουμε μερικές από τις ιδιότητες που τον χαρακτηρίζουν και παρουσιάζουμε παραδείγματα υπολογισμού του βάσει των ιδιοτήτων. Τέλος βλέπουμε ότι ο ορισμός του ικανοποιεί μερικές από τις ιδιότητες που τον χαρακτηρίζουν. Στο δεύτερο κεφάλαιο περιλαμβάνεται η επισκόπηση μίας στοιχειώδους απόδειξης του θεωρήματος του Bezout. Το θεώρημα δηλώνει ότι το πλήθος των σημείων τομής (μετρούμενο με βάση τον δείκτη τομής) δύο προβολικών καμπυλών, χωρίς κοινές συνιστώσες, είναι ίσο με το γινόμενο των βαθμών τους. Στην αρχή μελετάμε το θεώρημα στην ειδική περίπτωση αφινικών καμπυλών, χωρίς κοινά σημεία τομής στο άπειρο και στην συνέχεια τη γενική περίπτωση, που προκύπτει από την ειδική μέσω προβολικών μετασχηματισμών. Στο τέλος του κεφαλαίου εξετάζονται επιπλέον ιδιότητες του δείκτη τομής και δίνονται παραδείγματα υπολογισμού του, με βάση τον ορισμό. Στο τρίτο κεφάλαιο εξετάζουμε το θεώρημα των Cayley–Bacharach, ως εφαρμογή του θεωρήματος του Bezout. Στη συνέχεια εξετάζουμε το θεώρημα του Pascal, με βάση το θεώρημα των Cayley–Bacharach. Τέλος αναφέρουμε δύο γενικεύσεις του Bezout για χώρους μεγαλύτερης διάστασης.
|
|---|
