Το θεώρημα του Bezout
Το αντικείμενο της παρούσας Διπλωματικής Εργασίας είναι η επισκόπηση του θεωρήματος του Bezout. Στο πρώτο κεφάλαιο εξετάζουμε το προβολικό επίπεδο, τις προβολικές καμπύλες και αναφέρουμε κάποιες εισαγωγικές έννοιες της Αλγεβρικής Γεωμετρίας. Στην συνέχεια εξετάζουμε τον δείκτη τομής ο οποίος εκφράζε...
| Κύριος συγγραφέας: | |
|---|---|
| Άλλοι συγγραφείς: | |
| Γλώσσα: | Greek |
| Έκδοση: |
2021
|
| Θέματα: | |
| Διαθέσιμο Online: | http://hdl.handle.net/10889/15432 |
| id |
nemertes-10889-15432 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nemertes-10889-154322022-09-05T14:04:40Z Το θεώρημα του Bezout Bezout's theorem Κοτρώτσος, Βασίλειος Kotrotsos, Vasileios Μπεζού Αλγεβρική γεωμετρία Αλγεβρικές καμπύλες Πολυώνυμα Bezout Algebraic geometry Polynomials Intersection theory Το αντικείμενο της παρούσας Διπλωματικής Εργασίας είναι η επισκόπηση του θεωρήματος του Bezout. Στο πρώτο κεφάλαιο εξετάζουμε το προβολικό επίπεδο, τις προβολικές καμπύλες και αναφέρουμε κάποιες εισαγωγικές έννοιες της Αλγεβρικής Γεωμετρίας. Στην συνέχεια εξετάζουμε τον δείκτη τομής ο οποίος εκφράζει την πολλαπλότητα με την οποία τέμνονται δύο αλγεβρικές καμπύλες. Δίνουμε τον ορισμό του, αναφέρουμε μερικές από τις ιδιότητες που τον χαρακτηρίζουν και παρουσιάζουμε παραδείγματα υπολογισμού του βάσει των ιδιοτήτων. Τέλος βλέπουμε ότι ο ορισμός του ικανοποιεί μερικές από τις ιδιότητες που τον χαρακτηρίζουν. Στο δεύτερο κεφάλαιο περιλαμβάνεται η επισκόπηση μίας στοιχειώδους απόδειξης του θεωρήματος του Bezout. Το θεώρημα δηλώνει ότι το πλήθος των σημείων τομής (μετρούμενο με βάση τον δείκτη τομής) δύο προβολικών καμπυλών, χωρίς κοινές συνιστώσες, είναι ίσο με το γινόμενο των βαθμών τους. Στην αρχή μελετάμε το θεώρημα στην ειδική περίπτωση αφινικών καμπυλών, χωρίς κοινά σημεία τομής στο άπειρο και στην συνέχεια τη γενική περίπτωση, που προκύπτει από την ειδική μέσω προβολικών μετασχηματισμών. Στο τέλος του κεφαλαίου εξετάζονται επιπλέον ιδιότητες του δείκτη τομής και δίνονται παραδείγματα υπολογισμού του, με βάση τον ορισμό. Στο τρίτο κεφάλαιο εξετάζουμε το θεώρημα των Cayley–Bacharach, ως εφαρμογή του θεωρήματος του Bezout. Στη συνέχεια εξετάζουμε το θεώρημα του Pascal, με βάση το θεώρημα των Cayley–Bacharach. Τέλος αναφέρουμε δύο γενικεύσεις του Bezout για χώρους μεγαλύτερης διάστασης. The subject of this Thesis is a survey of Bezout’s theorem. In chapter 1 we present the projective space, projective curves and some basic notions of Algebraic Geometry. We study the intersection multiplicity (intersection number) of two curves, which conveys the extent to which the curves are tangent to one another or are not smooth at a point. In chapter 2 we describe a proof of Bezout’s theorem. The theorem states that the number of intersection points, counted with multiplicities, of two curves without common components, equals the product of their degrees. First we present the specific case of affine curves. Then we deduce the general case of projective curves, from the affine case. We conclude the chapter with further examination of the intersection number. In chapter 3 as applications of Bezout’s we study the Cayley–Bacharach theorem and a geometric theorem of Pascal. Finally we state two generalizations of Bezout’s theorem for higher dimensions. 2021-10-25T05:11:36Z 2021-10-25T05:11:36Z 2021-08 http://hdl.handle.net/10889/15432 gr application/pdf |
| institution |
UPatras |
| collection |
Nemertes |
| language |
Greek |
| topic |
Μπεζού Αλγεβρική γεωμετρία Αλγεβρικές καμπύλες Πολυώνυμα Bezout Algebraic geometry Polynomials Intersection theory |
| spellingShingle |
Μπεζού Αλγεβρική γεωμετρία Αλγεβρικές καμπύλες Πολυώνυμα Bezout Algebraic geometry Polynomials Intersection theory Κοτρώτσος, Βασίλειος Το θεώρημα του Bezout |
| description |
Το αντικείμενο της παρούσας Διπλωματικής Εργασίας είναι η επισκόπηση του θεωρήματος του Bezout. Στο πρώτο κεφάλαιο εξετάζουμε το προβολικό επίπεδο, τις προβολικές καμπύλες και αναφέρουμε κάποιες εισαγωγικές έννοιες της Αλγεβρικής Γεωμετρίας. Στην συνέχεια εξετάζουμε τον δείκτη τομής ο οποίος εκφράζει την πολλαπλότητα με την οποία τέμνονται δύο αλγεβρικές καμπύλες. Δίνουμε τον ορισμό του, αναφέρουμε μερικές από τις ιδιότητες που τον χαρακτηρίζουν και παρουσιάζουμε παραδείγματα υπολογισμού του βάσει των ιδιοτήτων. Τέλος βλέπουμε ότι ο ορισμός του ικανοποιεί μερικές από τις ιδιότητες που τον χαρακτηρίζουν. Στο δεύτερο κεφάλαιο περιλαμβάνεται η επισκόπηση μίας στοιχειώδους απόδειξης του θεωρήματος του Bezout. Το θεώρημα δηλώνει ότι το πλήθος των σημείων τομής (μετρούμενο με βάση τον δείκτη τομής) δύο προβολικών καμπυλών, χωρίς κοινές συνιστώσες, είναι ίσο με το γινόμενο των βαθμών τους. Στην αρχή μελετάμε το θεώρημα στην ειδική περίπτωση αφινικών καμπυλών, χωρίς κοινά σημεία τομής στο άπειρο και στην συνέχεια τη γενική περίπτωση, που προκύπτει από την ειδική μέσω προβολικών μετασχηματισμών. Στο τέλος του κεφαλαίου εξετάζονται επιπλέον ιδιότητες του δείκτη τομής και δίνονται παραδείγματα υπολογισμού του, με βάση τον ορισμό. Στο τρίτο κεφάλαιο εξετάζουμε το θεώρημα των Cayley–Bacharach, ως εφαρμογή του θεωρήματος του Bezout. Στη συνέχεια εξετάζουμε το θεώρημα του Pascal, με βάση το θεώρημα των Cayley–Bacharach. Τέλος αναφέρουμε δύο γενικεύσεις του Bezout για χώρους μεγαλύτερης διάστασης. |
| author2 |
Kotrotsos, Vasileios |
| author_facet |
Kotrotsos, Vasileios Κοτρώτσος, Βασίλειος |
| author |
Κοτρώτσος, Βασίλειος |
| author_sort |
Κοτρώτσος, Βασίλειος |
| title |
Το θεώρημα του Bezout |
| title_short |
Το θεώρημα του Bezout |
| title_full |
Το θεώρημα του Bezout |
| title_fullStr |
Το θεώρημα του Bezout |
| title_full_unstemmed |
Το θεώρημα του Bezout |
| title_sort |
το θεώρημα του bezout |
| publishDate |
2021 |
| url |
http://hdl.handle.net/10889/15432 |
| work_keys_str_mv |
AT kotrōtsosbasileios totheōrēmatoubezout AT kotrōtsosbasileios bezoutstheorem |
| _version_ |
1771297247073402880 |
