| Περίληψη: | Στην παρούσα εργασία ασχολούμαστε με μεθόδους κατασκευής λύσεων για μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξώσεις (ΜΔΕ) εξέλιξης, δηλαδή εξισώσεις που περιγράφουν μια φυσική κατάσταση που εξελίσσεται χρονικά, και διακρίνονται σε γραμμικές και μη γραμμικές. Για την επίλυση των γραμμικών ΜΔΕ εξέλιξης υπάρχει η μέθοδος του μετασχηματισμού Fourier. Για τις μη γραμμικές ΜΔΕ εξέλιξης δεν υπάρχει κάποια γενική μέθοδος κατασκευής λύσεων. Πολλές απ’ αυτές, έχουν την ιδιότητα να επιδέχονται ειδικές λύσεις που ονομάζονται σολιτόνια. Βασικό χαρακτηριστικό των σολιτονίων είναι η «ελαστική» αλληλεπίδρασή τους.
Πρώτοι οι Zabusky και Kruskal ανακάλυψαν το 1965 ότι η εξίσωση των Korteweg και De Vries (KdV) επιδέχεται σολιτονική λύση. Σχεδόν αμέσως οι Gardner, Greene, Kruskal και Miura [1967,1974] βρήκαν μια μέθοδο κατασκευής σολιτονικής λύσης για την εξίσωση KdV. Η μέθοδος βασίζεται στην λογική της σκέδασης και της αντίστροφης σκέδασης. Η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης, λειτουργεί ανάλογα με αυτή του μετασχηματισμού Fourier για τις γραμμικές, και αποτελεί το κύριο μέρος αυτής της εργασίας. Ειδικότερα:
Στο πρώτο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε παραδείγματα γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης σε μία χωρική διάσταση, καθώς και λύσεις αυτών. Στη συνέχεια, αναζητούμε σολιτονικές λύσεις για τις μη γραμμικές ΜΔΕ εξέλιξης και κλείνουμε με ένα παράδειγμα μη γραμμικής ΜΔΕ εξέλιξης στις δύο χωρικές διαστάσεις.
Στο δεύτερο κεφάλαιο, δείχνουμε πώς μπορούμε να κατασκευάσουμε λύσεις προβλημάτων αρχικών τιμών (ΠΑΤ) για γραμμικές εξισώσεις εξέλιξης, με χρήση του μετασχηματισμού Fourier. Στη συνέχεια, γίνεται εφαρμογή της μεθόδου της αντίστροφης σκέδασης στην κατασκευή λύσεων για μη γραμμικές ΜΔΕ εξέλιξης.
Στο τρίτο κεφάλαιο, γίνεται εφαρμογή της μεθόδου της αντίστροφης σκέδασης στο ΠΑΤ για την εξίσωση KdV. Για κατάλληλη επιλογή της αρχικής συνθήκης διαπιστώνουμε ότι η KdV επιδέχεται σολιτονικές λύσεις. Συγκεκριμένα, επιλέγουμε αρχικές συνθήκες που εξελίσσονται χρονικά σε σολιτονική, 2-σολιτονική και 3-σολιτονική λύση. Τέλος, παρουσιάζουμε ένα πρόγραμμα σε περιβάλλον Mathematica που κατασκευάζει πολυσολιτονική λύση για την εξίσωση KdV.
Το τέταρτο κεφάλαιο αφιερώνεται στα ζεύγη Lax, τα οποία είναι ζεύγη γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης. Αυτό που τα χαρακτηρίζει είναι ότι, η συνθήκη συμβατότητας αυτών είναι η εξίσωση εξέλιξης που μας ενδιαφέρει. Σε αυτό βασίζεται και η μέθοδος των Ablowitz, Kaup, Newell και Segur (AKNS), για την κατασκευή λύσεων μη γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης. Εφαρμόζουμε την μέθοδο AKNS στην εξίσωση KdV για να κατασκευάσουμε σολιτονικές λύσεις.
Στο πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο, ασχολούμαστε με την αναδιατύπωση ενός ΠΑΤ ως πρόβλημα Riemann-Hilbert. Επιπλέον, δείχνουμε πώς συνδέεται ένα πρόβλημα αντίστροφης σκέδασης με ένα πρόβλημα Riemann-Hilbert, θεωρώντας την εξίσωση KdV. Τέλος, αναφερόμαστε στην σύνδεση προβλημάτων αρχικών-συνοριακών τιμών με το πρόβλημα Riemann-Hilbert και κάνουμε μια επισκόπιση στη σύγχρονη βιβλιογραφία και παρουσιάζουμε πρόσφατα αποτελέσματα σε αυτή την κατεύθυνση.
|
|---|
