| Περίληψη: | Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε την κλασική δυναμική
ατόμου υδρογόνου σε γενικευμένο δυναμικό Van der Waals. Το πρόβλημα ανήκει
στην ευρύτερη κατηγορία των μη γραμμικών Χαμιλτώνιων δυναμικών
συστημάτων. Σκοπός της μελέτης είναι η ανάλυση των ιδιομορφιών της
κανονικής και χαοτικής κίνησης του συστήματος στο μιγαδικό πεδίο του
χρόνου και η εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με την ολοκληρωσιμότητα
και επιλυσιμότητά του. Εκείνο που θέλουμε να κατανοήσουμε, επίσης,
είναι τον ρόλο που παίζει η εμφάνιση ιδιομορφιών σε κάποια σημεία
του χώρου των φάσεων και κατά πόσο μπορούν αυτές να επηρεάσουν
συνολικά τις ιδιότητες των λύσεων.
Για πρώτη φορά, επίσης, στην διπλωματική αυτή εργασία εφαρμόζεται σε
ένα Χαμιλτώνιο δυναμικό σύστημα μία νέα αριθμητική μέθοδος διάκρισης
μεταξύ κανονικής και χαοτικής συμπεριφοράς σε διαφορετικές περιοχές του χώρου φάσεων, η μέθοδος των Μικρότερων Δεικτών
Ευθυγράμμισης (Smaller Alignment Indices method ή SALI).
Η μέθοδος αυτή έχει χρησιμοποιηθεί κατά το πρόσφατο παρελθόν σε απεικονίσεις δύο, τεσσάρων και έξι
διαστάσεων με πολύ ενδιαφέροντα αποτελέσματα. Χαρακτηριστικά της
είναι η αποτελεσματικότητα και η δυνατότητα εξαγωγής χρήσιμων
συμπερασμάτων ως προς την κανονική και χαοτική φύση των τροχιών ενός
δυναμικού συστήματος με μεγαλύτερη ταχύτητα και αξιοπιστία από την
μέθοδο των χαρακτηριστικών εκθετών Lyapunov καθώς και άλλων
νεότερων μεθόδων στην σύγχρονη βιβλιογραφία.
Εδώ θα παρουσιασθεί η μέθοδος αυτή με ορισμένες βελτιώσεις ώστε να
μπορεί να εφαρμοσθεί σε συστήματα μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
οποιασδήποτε διάστασης ελέγχοντας συστηματικά ένα όσο πυκνό πλέγμα
αρχικών συνθηκών του χώρου φάσεων επιθυμούμε, αντιστοιχώντας σε κάθε
μία από αυτές ένα χρώμα. Κάθε χρώμα αντιστοιχεί και σε ένα
διαφορετικό εύρος τάξεων του SALI δημιουργώντας έτσι μία
συνολική εικόνα στο χώρο φάσεων που μας επιτρέπει να γνωρίζουμε τη
φύση της τροχιάς κάθε συγκεκριμένης αρχικής συνθήκης. Σχηματίζεται
με αυτόν τον τρόπο το "μωσαϊκό" του χώρου φάσεων και
αποκαλύπτονται περιοχές κανονικής κίνησης, χαοτικής κίνησης καθώς
και νησίδες ή περιοχές στις οποίες δεν αντιστοιχεί καθόλου κίνηση.
|
|---|
