| Περίληψη: | Στα σύγχρονα ψηφιακά συστήματα η ανάγκη για γρήγορους υπολογισμούς είναι πλέον από τους πιο καθοριστικούς παράγοντες. Άλλοι ιδιαίτερα κρίσιμοι παράγοντες είναι η απαιτούμενη επιφάνεια του κυκλώματος και η κατανάλωση ενέργειας. Ωστόσο, ο χρόνος παραμένει ένας από τους πιο σημαντικούς για πλήθος εφαρμογές. Τα αριθμητικά κυκλώματα, όπως αθροιστές, πολλαπλασιαστές και κυκλώματα ύψωσης στο τετράγωνο, είναι πλέον αναπόσπαστο κομμάτι των ψηφιακών κυκλωμάτων, γι’ αυτό η επιτάχυνση των λειτουργιών αυτών είναι ένας στόχος στην κατεύθυνση του οποίου πολλές διαφορετικές αρχιτεκτονικές έχουν προταθεί. Η μείωση της καθυστέρησης στις αριθμητικές μονάδες θα δώσει μεγάλη βελτίωση στη συνολική απόδοση των συστημάτων, μιας και οι περισσότερες εφαρμογές εμπεριέχουν πλήθος αριθμητικών πράξεων.
Η πράξη της ύψωσης στο τετράγωνο αποτελεί ειδική περίπτωση της πράξης του πολλαπλασιασμού, στην οποία ο πολλαπλασιαστέος ισούται με τον πολλαπλασιαστή. Ο λόγος για τον οποίο χρησιμοποιούμε εξειδικευμένα κυκλώματα για την πράξη αυτή είναι η εκμετάλλευση του γεγονότος ότι τα δύο έντελα είναι ίσα, κάτι που οδηγεί σε ελαχιστοποίηση του χρόνου που απαιτείται για την ολοκλήρωση της πράξης, αλλά και μείωση της απαιτούμενης επιφάνειας. Η πράξη της ύψωσης στο τετράγωνο χρησιμοποιείται σε πολλές εφαρμογές των υψηλής απόδοσης επεξεργαστών ψηφιακού σήματος (digital signal processors – DSP). Τέτοιες εφαρμογές συμπεριλαμβάνουν φιλτράρισμα σήματος (signal filtering), επεξεργασία εικόνας (image processing), και διαμόρφωση για τηλεπικοινωνιακά συστήματα. Η πράξη της ύψωσης στο τετράγωνο μπορεί, επίσης, να χρησιμοποιηθεί αποδοτικά στην υλοποίηση κρυπτογραφικών αλγορίθμων για την αποφυγή της χρονοβόρας διαδικασίας της ύψωσης σε δύναμη.
Το Σύστημα Αριθμητικής Υπολοίπων (RNS), είναι ένα αριθμητικό σύστημα το οποίο παρουσιάζει σημαντικά πλεονεκτήματα στην ταχύτητα με την οποία μπορούν να γίνουν οι αριθμητικές πράξεις. Στο RNS οι αριθμοί αναπαρίστανται σαν ένα σύνολο από υπόλοιπα. Για να αναπαραστήσουμε έναν αριθμό ορίζουμε ένα σύνολο από πρώτους μεταξύ τους ακεραίους που ονομάζεται βάση του συστήματος P={p1,p2,…pk}. Η αναπαράσταση ενός αριθμού X στο RNS ορίζεται ως το σύνολο των υπολοίπων του Χ ως προς τα στοιχεία της βάσης Ρ. Προκύπτει, έτσι, ότι X={x1,x2,…,xk} όπου το xi είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του X με το στοιχείο της βάσης pi και συμβολίζεται με Xi=|X|pi. Κάθε ακέραιος Χ που ανήκει στο εύρος τιμών 0<=X<M, όπου Μ είναι το γινόμενο όλων των στοιχείων της βάσης P, έχει μοναδική αναπαράσταση στο RNS. Μια αριθμητική πράξη δύο εντέλων, η οποία μπορεί να είναι πρόσθεση, αφαίρεση ή πολλαπλασιασμός, ορίζεται ως εξής: {z1,z2,…,zk} = {x1,x2,…,xk}*{y1,y2,…,yk}, όπου zi = (xi*yi) modpi. Συνεπώς, κάθε αριθμητική πράξη εφαρμόζεται σε παράλληλες μονάδες (μία για κάθε στοιχείο της βάσης), καθεμία από τις οποίες διαχειρίζεται μικρούς αριθμούς (υπόλοιπα), αντί μιας μονάδας που θα χρειαζόταν να διαχειριστεί μεγάλους αριθμούς.
Ένα από τα πιο δημοφιλή σύνολα βάσης είναι αυτά της μορφής {2^n, 2^n -1, 2^n+1}, λόγω του ότι προσφέρουν πολύ αποδοτικά κυκλώματα με κριτήριο το γινόμενο της επιφάνειας επί το τετράγωνο της καθυστέρησης (area * time^2), καθώς επίσης και αποδοτικούς μετατροπείς από και προς το δυαδικό σύστημα. Για το λόγο αυτό η υλοποίηση αποδοτικών modulo(2^n-1) και modulo(2n+1) κυκλωμάτων είναι σημαντική. Το πρόβλημα που παρουσιάζεται είναι ότι ενώ οι modulo(2^n) και modulo(2^n-1) αριθμητικές χρειάζονται το πολύ n δυαδικά ψηφία για την αναπαράσταση όλων των δυνατών υπολοίπων, στη modulo(2^n+1) αρχιτεκτονική χρειάζονται (n+1) ψηφία. Το πρόβλημα αυτό λύνεται με τη χρήση diminished-1 αναπαράστασης. Στη diminished-1 αναπαράσταση, κάθε αριθμός Χ αναπαρίσταται ως X-1=X-1. Έτσι, απαιτούνται n δυαδικά ψηφία για την αναπαράσταση, χρειάζονται, όμως, κυκλώματα μετατροπής από και προς την diminished-1 αναπαράσταση. Όταν χρησιμοποιείται η diminished-1 αναπαράσταση η τιμή εισόδου ίση με 0 χειρίζεται ξεχωριστά.
Στα πλαίσια της εργασίας αναλύονται υπάρχουσες αρχιτεκτονικές και προτείνονται νέες για κυκλώματα ύψωσης στο τετράγωνο στο Σύστημα Αριθμητικής Υπολοίπων (RNS). Οι προτεινόμενες αρχιτεκτονικές βελτιώνουν την καθυστέρηση και, ταυτόχρονα, μειώνουν τις απαιτήσεις σε επιφάνεια.
|
|---|
