| Περίληψη: | Η παρούσα διατριβή ασχολείται με την μελέτη της γραμμικής, ανιξωδικής ευστάθειας, συμπιεστού, υπερηχητικού οριακού στρώματος γύρω από κύλινδρο ή κώνο. Το υλικό που παρουσιάζεται μπορεί να χωριστεί σε δύο μέρη.
i) Το αριθμητικό αέρος, όπου γίνεται επέκταση, βελτίωση και σύγκριση αριθμητικών τεχνικών που χρησιμοποιούνται για την μελέτη της γραμμικής, ανιξωδικής ευστάθειας, συμπιεστών, υπερηχητικών οριακών στρωμάτων. Σε αυτό το μέρος αναπτύσσονται δύο τεχνικές για την επίλυση των εξισώσεων ανιξωδικής ευστάθειας οι οποίες βασίζονται στους πίνακες παραγώγισης Chebyshev για την διακριτοποίηση:
α) Επαναληπτική μέθοδος: Σύμφωνα με αυτή τη μέθοδο, οι εξισώσεις ευστάθειας διάκριτοποιούνται σε όλο το διάστημα ολοκλήρωσης με πίνακες παραγώγισης Chebyshev. Το διακριτοποιημένο, γραμμικό, αλγεβρικό σύστημα έχει τη μορφή AΧ - β, όπου ο πίνακας A περιέχει τους συντελεστές από τη διακριτοποίηση, το διάνυσμα Χ περιέχει τις (ζητούμενες) τιμές των ιδιοσυναρτήσεων στα σημεία του πλέγματος και το διάνυσμα b περιέχει τις συνοριακές συνθήκες. Δίνοντας μια αρχική εκτίμηση της ιδοτιμής το σύστημα επιλύεται επαναληπτικά μέχρι να ικανοποιηθεί η συνθήκη μη διαπερατότητας του στερεού ορίου.
β) Ολική μέθοδος (QΖ αλγόριθμος): Σε αυτή τη μέθοδο, οι εξισώσεις ευστάθειας διάκριτοποιούνται σε όλο το διάστημα ολοκλήρωσης με ανάπτυγμα σε πολυώνυμα Chebyshe, ενώ οι ασυμπτωτικές τιμές των διαταραχών εκτός του οριακού στρώματος αντικαθίστανται από μηδενικές συνθήκες δίνοντας έτσι ένα γενικευμένο, αλγεβρικό πρόβλημα ιδιστιμώντης μορφής ΑΧ = cΒΧ. Το πρόβλημα επιλύεται από τον αλγόριθμο QΖ και δίνει μια προσέγγιση όλου του χάσματος ίδιο τιμών χωρίς την ανάγκη αρχικές εκτίμησης.
Βασικό χαρακτηριστικό των εξισώσεων ανιξωδικής ευστάθειας και πηγή δυσκολιών στην αριθμητική τους επίλυση, είναι η ύπαρξη ιδιαζόντων (Singular) σημείων τα οποία κάνουν δύσκολο και σε κάποιες περιπτώσεις αδύνατο τον εντοπισμό και ακριβή υπολογισμό των ιδιοτιμών. Για την υπέρβαση αυτής της δυσκολίας, οι εξισώσεις ευστάθειας ολοκληρώνονται σε μια διαδρομή εντός του μιγαδικού επιπέδου, η οποία διέρχεται αρκετά μακριά από το ανώμαλο σημείο αυξάνοντας έτσι την ακρίβεια και την αποτελεσματικότητα των αριθμητικών σχημάτων.
Το πρόβλημα που προκύπτει σε μια τέτοια περίπτωση είναι ο υπολογισμός των κατανομών της ταχύτητας και της θερμοκρασίας της βασικές ροής στο πλέγμα μιγαδικών σημείων όπου θα επιλυθούν οι εξισώσεις ευστάθειας. H συνήθης πρακτική για την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος είναι η επίλυση των εξισώσεων της βασικές ροής σε πλέγμα πραγματικών σημείων και στη συνέχεια το ανάπτυγμα κατά Taylor των λύσεων αυτών ώστε να υπολογιστούν οι τιμές σε ένα πλέγμα μιγαδικών σημείων.
Στην εργασία αυτή 1) εξετάζεται η επίδραση του σφάλματος αποκοπής του αναπτύγματος Taylor στην ακρίβεια των υπολογισμών και 2) προτείνεται μια τεχνική όπου οι εξισώσεις του οριακού στρώματος επιλύονται απ’ ευθείας στο μιγαδικό επίπεδο.
Για τις εξισώσεις ευστάθειας που χρησιμοποιούμε, υπάρχει αναλυτική έκφραση που δίνει την ασυμπτωτική μορφή των διαταραχών μακριά από το στερεό όριο. Στην έκφραση αυτή των διαταραχών εμπλέκονται μη-γραμμικά οι ιδιοτιμές. Υιοθετώντας λοιπόν αυτού του είδους τις συνθήκες θα πρέπει αναγκαστικά να χρησιμοποιήσουμε μια επαναληπτική μέθοδο όπως η (α) που προτείνουμε εδώ και να αποκλείσουμε τις ολικές τεχνικές όπως η (β). Στα πλαίσια της παρούσας εργασίας χρησιμοποιούμε άλλα δύο είδη συνοριακών συνθηκών, ομογενείς και γραμμικές μη-ομογενείς. Συγκρίνοντας τα αριθμητικά αποτελέσματα και από τα τρία είδη συνθηκών διερευνάται η επίδραση που έχει η επιλογή τους στην ακρίβεια και την αποτελεσματικότητα των υπολογισμών.
Τέλος, τα αποτελέσματα όλων των παραπάνω τεχνικών συγκρίνονται με γνωστά από τη διεθνή βιβλιογραφία αποτελέσματα, τόσο για τη βασική ροή όσο και για τη χρονική Ευστάθεια, ώστε να διαπιστωθεί η ακρίβεια των υπολογισμών.
ii) Στο δεύτερο αέρος επεκτείνουμε την μελέτη της φυσικής του προβλήματος με τη χρήση των αριθμητικών τεχνικών που αναπτύχθηκαν. H μελέτη επεκτάθηκε στην χωρική ευστάθεια, η οποία περιγράφει καλύτερα την φυσική του προβλήματος, και πιο συγκεκριμένα μελετήθηκε: α) Η επίδραση της επιλογής του νομού του ιξώδους και της τιμής του αριθμού Prandtl στην ακρίβεια των υπολογισμών. β) Η αποτελεσματικότητα διαφόρων τεχνικών για τον έλεγχο της ευστάθειας. Οι τεχνικές που μελετήσαμε είναι β1) η ομοιόμορφη θέρμανση/ψύξη των τοιχωμάτων, β2) η ομοιόμορφη έγχυση/αναρρόφηση και β3) κατανεμημένη έγχυση/αναρρόφηση ρευστού μέσω των τοιχωμάτων.
|
|---|
