| Περίληψη: | Η υστέρηση είναι ένα μη γραμμικό φαινόμενο, το οποίο είναι πολύ κοινό σε διάφορους κλάδους της επιστήμης, συμπεριλαμβανομένων της φυσικής, της μηχανικής και της βιολογίας. Η μαθηματική θεμελίωση του φαινομένου της υστέρησης οφείλεται σε διάφορες εφαρμογές, οι οποίες αποτελούν και τα πρακτικά παραδείγματα, τα οποία την υποστηρίζουν. Για το λόγο αυτόν πλήθος μοντέλων, τα οποία πήραν την ονομασία τους από τους επιστήμονες που τα πρότειναν (π.χ Duhem, Weiss, Preisach κ.ο.κ), πρώτα χρησιμοποιήθηκαν για συγκεκριμένες εφαρμογές και μετά θεωρήθηκαν ως μοντέλα υστέρησης.
Το φαινόμενο της υστέρησης, όπως και η μαθηματική του ανάλυση, έχει μελετηθεί διεξοδικά [1,2] και για το λόγο αυτό έχουν προταθεί αρκετά μαθηματικά εργαλεία. Εντούτοις, το πρόβλημα της αναγνώρισης (επίτευξη μαθηματικών μοντέλων επί τη βάση πειραματικών μετρήσεων) συστημάτων με υστέρηση δεν έχει λάβει τη δέουσα προσοχή ακόμα. Στις περισσότερες των περιπτώσεων, η αναγνώριση περιορίζεται σε πρακτικά ζητήματα (κυρίως για προσομοιώσεις συστημάτων με υστέρηση), κατά τα οποία επιλέγεται ένα συγκεκριμένο μοντέλο υστέρησης και χρησιμοποιείται μία μέθοδος εκτίμησης (π.χ μη-γραμμική βελτιστοποίηση), δίχως να δαπανάται επιπλέον προσπάθεια σε βαθύτερα θεωρητικά θέματα (π.χ κατά πόσο η εκτίμηση είναι η βέλτιστη ή αν είναι μοναδική κ.ο.κ). Αξίζει να σημειωθεί ότι το πρόβλημα της αναγνώρισης είναι βαθύτερο και χρήζει επιπλέον θεωρητικής ανάλυσης βάσει αρχών και εργαλείων από το γνωστικό αντικείμενο της “Θεωρίας Αναγνώρισης Συστημάτων”, έτσι ώστε να επιτυγχάνονται τα βέλτιστα αποτελέσματα.
O πρώτος στόχος της παρούσα διατριβής είναι η ανάπτυξη μεθοδολογίας ανίχνευσης μη γραμμικής συμπεριφοράς (όπως για παράδειγμα η υστέρηση) αποκλειστικά επί τη βάση πειραματικών μετρήσεων. Η βασική ιδέα για την επίτευξη του σκοπού αυτού είναι η χρήση της Συνάρτησης Συνάφειας (Coherence Function), η οποία αναμένεται να μειωθεί με την ύπαρξη μη γραμμικοτήτων [3]. Μετά την ανίχνευση, ο στόχος είναι η ανάπτυξη ολοκληρωμένης μεθοδολογίας για την αναγνώριση φυσικών συστημάτων με υστέρηση, βάσει του μοντέλου ολίσθησης του Maxwell (Maxwell Slip model – [4]). Ο συγκεκριμένος στόχος αντιμετωπίζεται υπό το πρίσμα της θεωρίας αναγνώρισης συστημάτων (System Identification) και ως εκ τούτου τα βασικά θέματα θεωρητικής φύσεως τα οποία αντιμετωπίζονται είναι, τα ακόλουθα:
Η εκ των προτέρων αναγνωρισιμότητα (μοναδικότητα της παραμετροποίησης – uniqueness of representation) της δομής του μοντέλου ολίσθησης του Maxwell.
Η επίδραση των αρχικών καταστάσεων στην εκτίμηση του μοντέλου ολίσθησης του Maxwell.
Ο σχεδιασμός της διεγέρσεως έτσι ώστε τα διαθέσιμα δεδομένα να περιέχουν όλη τη δυνατή πληροφορία για την επιτυχή αναγνώριση του μοντέλου ολίσθησης του Maxwell.
H επιλογή και η αριθμητική εφαρμογή κατάλληλης εκτιμήτριας των παραμέτρων του μοντέλου ολίσθησης του Maxwell.
Η μελέτη της εκ των υστέρων αναγνωρισιμότητας (a posteriori identifiability) του Μοντέλου ολίσθησης του Maxwell.
Η μελέτη της ποιότητας της εκτίμησης του μοντέλου ολίσθησης του Maxwell, το οποίο συνεπάγεται την μελέτη της συνέπειας (consistency) και της ασυμπτωτικής κανονικότητας των εκτιμήσεων (asymptotic normality).
Η διαδικασία επιλογής της δομής (model structure selection) του μοντέλου ολίσθησης του Maxwell.
Ο έλεγχος εγκυρότητας (model validation) του εκτιμώμενου μοντέλου ολίσθησης του Maxwell.
Επί τη βάση των παραπάνω βασικών θεμάτων, αναπτύσσονται κατάλληλα εργαλεία και λεπτομερείς διαδικασίες με σκοπό να δοθούν απαντήσεις.
Προκειμένου να φανερωθεί η πρακτικότητα και εφαρμοσιμότητα των προαναφερθέντων θεωρητικών θεμάτων, είναι αναγκαία η εφαρμογή τους σε ένα πραγματικό σύστημα με υστέρηση. Από το πλήθος των διαθέσιμων συστημάτων αυτού του είδους, επιλέγεται ένα πραγματικό μηχανικό σύστημα με τριβή. Αξίζει να σημειωθεί ότι συστήματα αυτού του είδους όχι μόνο είναι πολύ κοινά σε μηχανολογικές εφαρμογές, άλλα η αναγνώριση τους αποτελεί πρόκληση, λόγω της πολύπλοκης φύσης της υστέρησης που παρουσιάζουν.
Συγκεκριμένα τα εν λόγω συστήματα παρουσιάζουν διαφορετικό είδος υστέρησης ανάλογα με την περιοχή λειτουργίας τους. Έτσι, όταν λειτουργούν στην περιοχή προολίσθησης (δεν παρουσιάζεται μακροσκοπική κίνηση, η σχετική μετατόπισης μεταξύ των επιφανειών που έρχονται σε επαφή είναι της τάξεως των 2 - 5 μm (presliding regime [5]) εμφανίζεται υστέρηση (σχεδόν) ανεξάρτητη του ρυθμού, με χαρακτηριστικά μακράς μνήμης (hysteresis with nonlocal memory) μεταξύ της (μικρο)μετατόπισης και της δύναμης τριβής [6,7,8]. Όσο η σχετική μετατόπιση των επιφανειών που έρχονται σε επαφή αυξάνεται, τότε όλο και περισσότεροι δεσμοί (junctions) σπάνε και τελικά παρατηρείται μακροσκοπική μετατόπιση με αποτέλεσμα το σύστημα να εισέρχεται στην περιοχή ολίσθησης (sliding regime). Στην περιοχή αυτή, ο προηγούμενος τύπος της υστέρησης εξαφανίζεται και εμφανίζεται υστέρηση, μεταξύ της μετατόπισης και της δύναμης τριβής, ρυθμού εξαρτώμενης [8,9,4]. Αξίζει να σημειωθεί ότι ένα σύστημα με τριβή μεταβαίνει από την μια περιοχή λειτουργίας στην άλλη (π.χ κατά την αλλαγή στη φορά της κίνησης) αρκετές φορές ακόμα και κατά την τυπική του λειτουργία. Το γεγονός αυτό καταδεικνύει τη δυσκολία του προβλήματος.
Προκειμένου να επιλυθεί το πρόβλημα της αναγνώρισης μηχανικών συστημάτων με τριβή, αρχικά μελετάται το σύστημα μόνο στην περιοχή προολίσθησης. Για το λόγο αυτό διεξάγονται κατάλληλα πειράματα στην περιοχή αυτή, μετρώνται τα σήματα της μετατόπισης και της τριβής προολίσθησης και εφαρμόζεται αναγνώριση του συστήματος επί τη βάση του Μοντέλου ολίσθησης του Maxwell. Η εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας οδηγεί σε σχεδόν άψογα αποτελέσματα, καταδεικνύοντας την ικανότητα του μοντέλου ολίσθησης του Maxwell να περιγράφει τη δυναμική του συστήματος στην περιοχή προολίσθησης.
Αφού μελετήθηκε το σύστημα εντός της περιοχής προολίσθησης, το επόμενο βήμα περιλαμβάνει τη γενικότερη (και πιο πιθανή) περίπτωση, κατά την οποία το σύστημα λειτουργεί στη συνδυασμένη περιοχή προολίσθησης - ολίσθησης. Όπως και πριν, διεξάγονται πειράματα και μετρώνται τα σήματα μετατόπισης και τριβής. Αν και η αναγνώριση του συστήματος, μέσω του μοντέλου ολίσθησης του Maxwell στη συνδυασμένη περιοχή, δίνει χειρότερα συγκρινόμενα με τα προηγούμενα, αποτελέσματα, η χρήση του μοντέλου παρουσιάζεται αρκετά υποσχόμενη.
Το γεγονός ότι η αναγνώριση, μέσω του μοντέλου ολίσθησης του Maxwell, στη συνδυασμένη περιοχή προολίσθησης - ολίσθησης οδηγεί σε χειρότερα αποτελέσματα οφείλεται στο ότι η εν λόγω δομή του μοντέλου δεν είναι σε θέση να ερμηνεύσει πλήρως την πολυπλοκότητα της υστέρησης που εμφανίζεται στην περίπτωση αυτή. Έτσι, κρίνεται απαραίτητη η κατάλληλη επέκταση της βασικής δομής. Για το λόγο αυτό προτείνεται κατάλληλη, επί τη βάση της βασική δομής, επέκταση. Η χρήση της νέας δομής του μοντέλου για την αναγνώριση του συστήματος στη συνδυασμένη περιοχή προολίσθησης - ολίσθησης οδηγεί σε εξαιρετική βελτίωση των αποτελεσμάτων, καταδεικνύοντας την καταλληλότητά της. Προκειμένου οι δυνατότητες της νέας δομής να παρουσιαστούν καλύτερα, αναπτύσσεται ένα απλό σύστημα ελέγχου πρόσω-αντιστάθμισης (feedforward), βασισμένο στην προτεινόμενη νέα δομή. Ο παραπάνω έλεγχος έχει ως αποτέλεσμα την επίτευξη εξαιρετικά χαμηλού σφάλματος εντοπισμού (tracking error), υποδεικνύοντας την εξαιρετική αντιστάθμιση της αναπτυσσόμενης τριβής και ως εκ τούτου την ικανότητα της προτεινόμενης δομής να ερμηνεύει τη δυναμική του συστήματος με τριβή, όταν αυτό δουλεύει στην συνδυασμένη περιοχή προολίσθησης - ολίσθησης.
|
|---|
