Τα γεωμετρικά όντα στον Αριστοτέλη

• Main Author: Καρασμάνης, Ορέστης
• Other Authors: Karasmanis, Orestis
• Language: Greek
• Published: 2023
• Subjects: Αριστοτέλης; Γεωμετρία; Γεωμετρικά όντα; Αφαίρεση; Νοητή ύλη; Aristotle; Geometry; Geometrical objects; Abstraction; Intelligible matter

Η εργασία αυτή αφορά στην φιλοσοφία της γεωμετρίας του Αριστοτέλη. Περιλαμβάνει συνολικά δύο ενότητες. Η πρώτη ενότητα περιλαμβάνει δύο κεφάλαια. Στο πρώτο εξ αυτών παραθέτω μετάφραση και σχολιασμό των τριών πρώτων κεφαλαίων του βιβλίου Μ των Μετά τα Φυσικά καθώς και του εκτενούς χωρίου 193b22-194a13 από το δεύτερο κεφάλαιο του βιβλίου Β των Φυσικών. Τα χωρία αυτά είναι τα σημαντικότερα όσον αφορά στη φιλοσοφία των μαθηματικών του Αριστοτέλη καθώς εκεί αναπτύσσει αναλυτικότερα τις θέσεις του. Στο δεύτερο κεφάλαιο συζητάω την έννοια της αφαίρεσης η οποία αναφέρεται συχνά από τον Αριστοτέλη σε σχέση με τα όντα των μαθηματικών, την έννοια της νοητής ύλης η οποία αναφέρεται από τον Αριστοτέλη ως η ύλη των μαθηματικών όντων και τέλος το ζήτημα της τελειότητας των γεωμετρικών όντων, δηλαδή πώς σύμφωνα με τη θεωρία του Αριστοτέλη, είναι δυνατόν να έχουμε τέλεια γεωμετρικά όντα. Στο πρώτο κεφάλαιο του βιβλίου Μ των Μετά τα Φυσικά ο Αριστοτέλης αρχικά αναφέρει τη δομή των βιβλίων Μ και Ν τα οποία αποτελούν μία ενότητα. Στη συνέχεια αναφέρει τρεις θέσεις σε σχέση με τις αιώνιες και αμετάβλητες ουσίες, δηλαδή τα μαθηματικά όντα και τις Ιδέες. Σύμφωνα με την πρώτη θέση υπάρχουνε τα μαθηματικά όντα αλλά ανήκουν σε διαφορετικό γένος από τις Ιδέες,. Σύμφωνα με τη δεύτερη θέση τα μαθηματικά όντα υπάρχουν ως Ιδέες και τέλος σύμφωνα με την τρίτη θέση υπάρχουν τα μαθηματικά όντα αλλά όχι οι Ιδέες. Ο Αριστοτέλης καταλήγει λέγοντας πως αρχικά θα εξετάσει το ζήτημα των μαθηματικών όντων και στη συνέχεια θα ασχοληθεί με τις Ιδέες. Στο τέλος του κεφαλαίου αναφέρει πως τα μαθηματικά όντα είτε (α) θα υπάρχουν εντός των αισθητών όντων, είτε (β) χωριστά από τα αισθητά όντα είτε (γ) θα υπάρχουν με κάποιο άλλο τρόπο, είτε (δ) δεν θα υπάρχουν καθόλου. Στο δεύτερο κεφάλαιο του βιβλίου Μ ο Αριστοτέλης παραθέτει αντεπιχειρήματα για τους δύο πρώτους τρόπους με τους οποίους θα μπορούσαν να υπάρχουν τα μαθηματικά όντα. Όσον αφορά στον πρώτο τρόπο, σύμφωνα με τον οποία τα μαθηματικά όντα υπάρχουν εντός των αισθητών, παραθέτει δύο συνολικά αντεπιχειρήματα, ενώ όσον αφορά στον δεύτερο τρόπο, σύμφωνα με τον οποία τα μαθηματικά όντα υπάρχουν χωριστά των αισθητών, αφιερώνει αρκετά μεγαλύτερο χώρο παραθέτοντας συνολικά επτά αντεπιχειρήματα. Στο τρίτο κεφάλαιο του βιβλίου Μ, ο Αριστοτέλης, και αφού έχει απορρίψει τις περιπτώσεις τα μαθηματικά όντα είτε να υπάρχουν εντός των αισθητών, είτε να υπάρχουν χωριστά από αυτά, προχωράει παραθέτοντας τη δική του θεωρία, χωρίς να εξετάσει τη θέση του να μην υπάρχουν καθόλου. Στην αριστοτελική θέση σε σχέση με την ύπαρξη των μαθηματικών όντων σημαντικό ρόλο διαδραματίζει η χρήση του επιρρήματος «ᾗ» (ως). Σύμφωνα με την ερμηνεία την οποία υποστηρίζω, κατά τον Αριστοτέλη, τα όντα κάποιας συγκεκριμένης επιστήμης είναι τα αισθητά όντα ως αντικείμενα της επιστήμης αυτής (για παράδειγμα τα γεωμετρικά όντα είναι τα αισθητά όντα ως γεωμετρικά), δηλαδή τα αισθητά όντα χωρίς κάποιες συγκεκριμένες ιδιότητες, όπου οι ιδιότητες αυτές είναι ιδιότητες οι οποίες δεν σχετίζονται με την εκάστοτε επιστήμη. Επίσης, στο κεφάλαιο αυτό, ο Αριστοτέλης αναφέρεται στον χωρισμό τον οποίο πραγματοποιεί ο μαθηματικός. Ο χωρισμός έχει να κάνει με τον τρόπο με τον οποίον μπορεί ο μαθηματικός να νοήσει τα όντα της επιστήμης του. Τα μαθηματικά όντα όταν τα νοεί ο μαθηματικός, τα νοεί σαν να είναι χωριστά ως προς την ουσία τους από τα αισθητά όντα. Ο χωρισμός αυτός, ενώ είναι, υπό μία έννοια, εσφαλμένος καθώς τα μαθηματικά όντα δεν είναι στην πραγματικότητα χωριστά, από τη στιγμή που δεν επηρεάζει τα αποτελέσματα των όποιων αποδείξεων, σωστά κάνει ο μαθηματικός και τον πραγματοποιεί. Στη συνέχεια, ο Αριστοτέλης αναφέρει πως ορθά οι γεωμέτρες ισχυρίζονται πως τα όντα της επιστήμης πράγματι υπάρχουν, γιατί το ον μπορεί να υπάρχει με δύο τρόπους είτε ενεργεία είτε «ὑλικῶς». Το «ὑλικῶς» το οποίο αναφέρει ο Αριστοτέλης έχει τη σημασία του δυνάμει αλλά με έναν συγκεκριμένο τρόπο. Ένα δυνάμει το οποίο δεν μπορεί να γίνει ποτέ ενεργεία. Αυτός είναι, λοιπόν, και ο τρόπος με τον οποίο υπάρχουν τα γεωμετρικά όντα. Είναι δυνάμει χωρίς ποτέ να μπορούν να υπάρξουν ενεργεία. Όσον αφορά στο χωρίο 193b22-194a12, ο Αριστοτέλης, όπως και στο Μ 3 των Μετά τα Φυσικά, αναφέρεται από τον Αριστοτέλη και η χρήση του «ᾗ» σε σχέση με τις μαθηματικές επιστήμες αλλά και η έννοια του χωρισμού. Τα όσα αναφέρονται στο χωρίο αυτό μπορούν να ερμηνευτούν με τρόπο τέτοιο ώστε να υπάρχει ταύτιση με τα όσα αναφέρονται στο Μ 3 των Μετά τα Φυσικά. Γενικά πάντως, το συγκεκριμένο χωρίο των Φυσικών είναι αρκετά συμπυκνωμένο και σε κάποιο βαθμό δυσνόητο και αυτό θα μπορούσε ίσως να μας οδηγήσει στο συμπέρασμα πως εδώ έχουμε μία πρότερη και εμβρυακή μορφή της θέσης του Αριστοτέλη σε σχέση με τα μαθηματικά όντα η οποία αναδιατυπώνεται, ξεκαθαρίζει σε μεγάλο βαθμό και παίρνει μια πιο ολοκληρωμένη μορφή στο τρίτο κεφάλαιο του βιβλίου Μ των Μετά τα Φυσικά. Στο δεύτερο κεφάλαιο της ενότητας αυτής, αρχικά εξετάζω την έννοια της αφαίρεσης στον Αριστοτέλη. Η αφαίρεση, θα μπορούσαμε να πούμε πως είναι μια διαδικασία η οποία, όμως, δεν είναι απόλυτα συγκεκριμένη καθώς μπορεί να διαφέρει από περίπτωση σε περίπτωση και ως προς τον σκοπό για τον οποίο πραγματοποιείται αλλά και ως προς τον τρόπο με τον οποίο λαμβάνει χώρα. Στην περίπτωση της γεωμετρίας, ο σκοπός της αφαίρεσης είναι να νοήσουμε τα γεωμετρικά όντα και ο τρόπος με τον οποίο λαμβάνει χώρα είναι αφαιρώντας νοητικά συγκεκριμένες ιδιότητες (αυτές τις οποίες δεν αφορούν στην επιστήμη της γεωμετρίας) από αισθητά όντα. Η σχέση, τώρα, μεταξύ της έννοιας της αφαίρεσης και αυτής του χωρισμού που συναντάμε στο Μ 3 των Μετά τα Φυσικά, είναι πως η μεν αφαίρεση είναι η διαδικασία μέσω της οποίας είμαστε σε θέση να νοήσουμε τα γεωμετρικά όντα, ο δε χωρισμός έχει να κάνει με τον τρόπο με τον οποίο τα νοούμε, σαν να είναι, δηλαδή, χωριστά. Ο γεωμέτρης δηλαδή νοεί το αποτέλεσμα της αφαιρετικής διαδικασίας σαν να είναι κάτι το χωριστό. Στη συνέχεια εξετάζω το θέμα της νοητής ύλης την οποία ο Αριστοτέλης αναφέρει ως την ύλη των μαθηματικών όντων. Η νοητή ύλη ακολουθώντας την ερμηνεία του Mueller, είναι, στην περίπτωση των γεωμετρικών όντων, το συνεχές ποσό στη μία, τις δύο, ή τις τρεις διαστάσεις, δηλαδή η γραμμή, η επιφάνεια και το στερεό αντίστοιχα, τα οποία είναι και τα γεωμετρικά μεγέθη. Αν αυτή η νοητή ύλη μορφοποιηθεί θα προκύψουν γεωμετρικά όντα συναποτελούμενα από ύλη (νοητή ύλη στη συγκεκριμένη περίπτωση) και μορφή, όπως τα αντίστοιχα αισθητά. Η ερμηνεία αυτή, δηλαδή το ότι τα όντα της γεωμετρίας αποτελούνται από ύλη και μορφή, έχει το πλεονέκτημα πως είναι απόλυτα συμβατή με τη θεωρία του Αριστοτέλη για τα καθέκαστα όντα ως σύνθετα όντα αποτελούμενα από ύλη και μορφή, η οποία παρουσιάζεται στα κεντρικά βιβλία των Μετά τα Φυσικά. Τέλος, στο τελευταίο μέρος του κεφαλαίου αυτού, εξετάζω το πώς είναι δυνατόν, σύμφωνα με τη θεωρία του Αριστοτέλη, να έχουμε τέλεια γεωμετρικά όντα. Το πρόβλημα έγκειται στο ότι, αφενός δεν υπάρχουν αισθητά όντα, τουλάχιστον στον υποσελήνιο χώρο, των οποίων το σχήμα να ενέχει γεωμετρικής τελειότητας αφετέρου στο ότι τα γεωμετρικά όντα είναι τα αισθητά ως γεωμετρικά, δηλαδή τα αισθητά όντα χωρίς κάποιες συγκεκριμένες ιδιότητες. Πώς λοιπόν ενώ ένα αισθητό ον χ δεν έχει τέλειες γεωμετρικές ιδιότητες, το ον αυτό ως γεωμετρικό μπορεί να έχει; Ο λόγος για τον οποίο το σχήμα ενός αισθητού όντος δεν μπορεί να είναι τέλειο οφείλεται στην ύλη του και όχι στη μορφή του. Για παράδειγμα, στην περίπτωση της χάλκινης σφαίρας (βλ. Μετά τα Φυσικά Ζ 8, 1033b8-19), η οποία συναποτελείται από τη σφαιρική μορφή και τον χαλκό (την ύλη), το ότι δεν είναι τέλεια σφαιρική οφείλεται στην ύλη της και όχι στην μορφή της. Αν, δηλαδή, η σφαιρική μορφή βρισκόταν σε κάποιου άλλου είδους ύλη η οποία δεν θα ήταν πηγή ατέλειας θα είχαμε ένα τέλεια σφαιρικό ον. Μια τέτοιου είδους ύλη είναι η νοητή ύλη. Η νοητή ύλη, από τη στιγμή που σύμφωνα με τον Αριστοτέλη είναι το γεωμετρικό μέγεθος δηλαδή η γραμμή, η επιφάνεια και το στερεό, δεν θα μπορούσε να είναι ατελής. Ο ισχυρισμός αυτός, μπορεί να προκύψει άμεσα από την επιστήμη της γεωμετρίας η οποία ασχολείται με όντα τα οποία είναι τέλεια ως προς το σχήμα τους. Έτσι, λοιπόν, ένα ον το οποίο αποτελείται από μια μορφή που αντιστοιχεί σε ένα τέλειο γεωμετρικό ον (την σφαιρική ή την κυκλική μορφή, για παράδειγμα) και νοητή ύλη θα είναι ένα τέλειο γεωμετρικό ον. Στη δεύτερη ενότητα, παραθέτω μία ερμηνεία όσον αφορά στο πως θα μπορούσαμε να έχουμε γνώση των τέλειων γεωμετρικών όντων από τη στιγμή που δεν υπάρχουν αισθητά όντα στον υποσελήνιο χώρο των οποίων τα σχήματα να είναι γεωμετρικά τέλεια. Ο Αριστοτέλης δεν αναφέρεται ρητά σε κάποιο χωρίο του Corpus στο συγκεκριμένο ζήτημα, συνεπώς αυτό το οποίο προσπαθώ είναι να παραθέσω μία ερμηνεία η οποία αφενός να είναι συμβατή με την αριστοτελική φιλοσοφία, αφετέρου να μπορεί να υποστηριχθεί από χωρία του αριστοτελικού Corpus. Τα βασικά όντα της γεωμετρίας είναι η ευθεία και η καμπύλη γραμμή, η οποία είναι μη-ευθεία, δηλαδή δεν είναι ευθεία σε κανένα από τα σημεία της, και όπου παραδειγματική περίπτωση της είναι ο κύκλος. Από αυτά τα βασικά όντα μπορούν να προκύψουν κατασκευαστικά όλα τα υπόλοιπα. Επίσης, από τη στιγμή που γνώση των όντων κάποιας επιστήμης σημαίνει το να έχουμε κάποιον ορισμό τους, ο σκοπός της έρευνάς αυτής ήταν να καταλήξουμε στον ορισμό των όντων αυτών. Αρχικά συζητάω το κεφάλαιο 19 του βιβλίου Β των Αναλυτικών Υστέρων καθώς εκεί ο Αριστοτέλης αναφέρει τον τρόπο με τον οποίο έχουμε γνώση των πρώτων αρχών. Συνεπώς, μια ερμηνεία για τη γνώση των γεωμετρικών όντων θα πρέπει να είναι συμβατή με τα όσα αναφέρει εκεί ο Αριστοτέλης. Στο κεφάλαιο αυτό ο Αριστοτέλης παραθέτει μια θεωρία τεσσάρων σταδίων σύμφωνα με την οποία η γνώση των πρώτων αρχών ξεκινάει από τις αισθήσεις ενώ τα επόμενα στάδια είναι κατά σειρά η εμπειρία, η νόηση και τέλος η γνώση. Στη συνέχεια, και αφού αναφέρω ορισμένες πιθανές ερμηνείες τις οποίες απορρίπτω, δείχνω, πως παρόλο που δεν υπάρχουν τέλεια αισθητά σχήματα στον υποσελήνιο χώρο, υπάρχει κάτι το απόλυτα ευθύ σε σχέση με τις αισθήσεις και αυτό είναι η κατεύθυνση της όρασης. Η ευθύγραμμη κατεύθυνση της όρασης ήταν μια πολύ διαδεδομένη πεποίθηση κατά την αρχαιότητα, η οποία συναντάται από τα αρχαία χρόνια μέχρι ακόμα και τη βυζαντινή εποχή. Η πεποίθηση αυτή, μάλιστα, συχνά σχετιζόταν με μία άλλη πεποίθηση σύμφωνα με την οποία οι ακτίνες του ήλιου φέρονται σε ευθείες γραμμές. Και οι δύο αυτές πεποιθήσεις συναντώνται στο αριστοτελικό Corpus, συνεπώς είναι θέσεις τις οποίες ασπάζεται και ο ίδιος ο Αριστοτέλης. Επομένως, και εφόσον ο Αριστοτέλης ασπάζεται τις θέσεις αυτές, θα μπορούσαμε εύλογα να υποθέσουμε πως η αντίληψη της ευθείας γραμμής θα μπορούσε να προκύψει από την ευθύγραμμη κατεύθυνση της όρασης. Στη συνέχεια θα μπορούσαμε, στηριζόμενοι στην ευθύγραμμη κατεύθυνση της όρασης, να έχουμε έναν ορισμό της ευθείας. Κάτι τέτοιο θα μπορούσε να συμβεί μέσω της πρακτικής των γεωδαιτών να υπολογίζουν και να μετράνε, με τη βοήθεια πασσάλων και σχοινιού, ευθύγραμμα τμήματα. Η πρακτική αυτή στηρίζεται στην ευθύγραμμη κατεύθυνση της όρασης. Μέσω, λοιπόν, της πρακτικής των γεωδαιτών θα μπορούσαμε να φτάσουμε σε έναν ορισμό, όπως αυτός που αναφέρεται στον πλατωνικό Παρμενίδη. Ο ορισμός αυτός είναι: «ευθύ είναι αυτό το οποίο έχει τα άκρα του μπροστά από το μέσον του». Ο Αριστοτέλης στα Τοπικά αναφέρει έναν παρόμοιο ορισμό, στον οποίο ασκεί κριτική, αλλά με ορισμένες μετατροπές θα μπορούσε να είναι κάλλιστα αποδεκτός από αυτόν. Στη συνέχεια, και αφού έχουμε γνώση της ευθείας γραμμής μπορούμε να έχουμε την αντίληψη πως μπορούν να υπάρχουν μη-ευθείες γραμμές δηλαδή γραμμές οι οποίες δεν είναι ευθείες σε κανένα από τα σημεία τους. Κατόπιν, εξετάζω την περίπτωση του κύκλου. Η χάραξη κύκλων με τη βοήθεια πασσάλων και σχοινιού ήτανε μια κοινή πρακτική κατά την αρχαιότητα. Επαναλαμβάνοντας μια τέτοια διαδικασία μπορούμε να φτάσουμε στην αντίληψη του κοινού στοιχείου το οποίο θα είχαν όλοι αυτοί οι αισθητοί κύκλοι μεταξύ τους αν κατασκευάζονταν κάτω από ιδανικές συνθήκες. Το κοινό αυτό στοιχείο θα ήταν πως όλα τα σημεία της περιφέρειας θα ισαπείχαν από το κέντρο. Όμως, ο ορισμός του κύκλου είναι «το επίπεδο σχήμα του οποίου όλα τα σημεία της περιφέρειας του ισαπέχουν από το κέντρο». Συνεπώς, βλέπουμε πως μέσω της πρακτικής κατασκευής κύκλων με τη βοήθεια πασσάλων και σχοινιού είμαστε σε θέση να φτάσουμε στον ορισμό του κύκλου και φυσικά και της κυκλικής γραμμής, δηλαδή της περιφέρειάς του. Στη συνέχεια, με μια απλή απόδειξη, μπορεί να προκύψει πως η περιφέρεια του κύκλου είναι μία μη-ευθεία γραμμή, δηλαδή μια γραμμή η οποία δεν είναι ευθεία σε κανένα από τα σημεία της. Κατόπιν, αφού βρούμε και άλλου είδους μη-ευθείες γραμμές, μπορούμε να τις ομαδοποιήσουμε με βάση το κοινό τους γνώρισμα και να τις ορίσουμε ονομάζοντάς τες καμπύλες. Τέλος, εξετάζω με ποιο τρόπο είμαστε σε θέση να έχουμε γνώση πιο πολύπλοκων γεωμετρικών όντων, όπως είναι, για παράδειγμα, τα κανονικά πολύγωνα. Κάτι τέτοιο μπορεί να συμβεί μέσω της ικανότητας της φαντασίας από πολλές διαφορετικές νοητικές εικόνες να φτιάχνει μία ενιαία. Από τη στιγμή που έχουμε, λοιπόν, γνώση της ευθείας γραμμής και του ευθυγράμμου τμήματος, μπορούμε, έχοντας νοητικές εικόνες ευθυγράμμων τμημάτων, να σχηματίσουμε μια νοητική εικόνα ενός κανονικού πολυγώνου, για παράδειγμα, και στη συνέχεια να προβούμε στην κατασκευή του με κανόνα και διαβήτη και να το ορίσουμε.