| Περίληψη: | Όπως είναι γνωστό, οι μη γραμμικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις δυναμικών συστημάτων μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών, αποτελούν σημαντικό εργαλείο για τους επιστήμονες, που προσπαθούν να δώσουν λύσεις σε ερωτήματα που αφορούν στην εξέλιξη των συστημάτων αυτών στον χρόνο.
Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν δυναμικά συστήματα που περιγράφουν προβλήματα της Φυσικής, της Βιολογίας, της Τεχνολογίας και των Οικονομικών Επιστημών. Στην παρούσα εργασία θα μελετήσουμε ορισμένα μη γραμμικά μοντέλα εξέλιξης πληθυσμών καθώς και διάφορες παραλλαγές αυτών που προκύπτουν από την προσθήκη μη γραμμικών όρων και περιοδικών συναρτήσεων.
Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο θα κάνουμε μια εισαγωγή εξετάζοντας γνωστά μοντέλα μιας διάστασης, όπως το γραμμικό μοντέλο του Malthus, και το μη γραμμικό μοντέλο του Verhulst αναφέροντας κάποια παρατηρησιακά δεδομένα που επιβεβαιώνουν τη χρησιμότητα αλλά και τους περιορισμούς των μοντέλων αυτών. Θα αναφερθούμε επίσης στην εξίσωση του Verhulst υπό την επίδραση μιας εξωτερικής περιοδικής διαταραχής.
Στο Κεφάλαιο 2, το οποίο αποτελεί και το κυρίως θέμα της παρούσας εργασίας, θα μελετήσουμε ένα μη γραμμικό σύστημα αλληλεπίδρασης δυο πληθυσμών διαφορετικών βιολογικών ειδών, που περιγράφεται από το σύστημα εξισώσεων Lotka-Volterra. Ξεκινώντας από την απλή περιοδική συμπεριφορά του αδιατάρακτου μοντέλου, προσθέτουμε επιπλέον όρους που περιγράφουν θανάτους λόγω ανταγωνισμού των μελών ενός είδους. Στη συνέχεια θα προχωρήσουμε στη μελέτη περιοδικώς διαταραγμένων συστημάτων τύπου Lotka-Volterra, η δυναμική των οποίων φανερώνει ένα μεγάλο μέρος της ομορφιάς της μη γραμμικής επιστήμης: Μπορούμε δηλαδή να δούμε απλά φαινόμενα όπως ένα ευσταθή οριακό κύκλο, εώς ένα πολύ εντυπωσιακό χαοτικό ελκυστή!
Στη συνέχεια, θα εστιάσουμε τη μελέτη μας στο σύστημα Lotka-Volterra τριών μεταβλητών που είναι πολύ σημαντικό για την μελέτη πληθυσμών τριών διαφορετικών βιολογικών ειδών. Υπάρχουν για παράδειγμα περιπτώσεις οικοσυστημάτων όπου δυο διαφορετικοί κυνηγοί, ένας ισχυρότερος και ένας ασθενέστερος, τρέφονται με το ίδιο είδος θηραμάτων. Επίσης υπάρχει η περίπτωση που ένας ασθενής κυνηγός καταναλώνει ένα θήραμα και ο ίδιος καταναλώνεται από έναν ασθενέστερο. Αυτό είναι το λεγόμενο μοντέλο της τροφικής αλυσίδας. Έτσι, στις τρεις διαστάσεις θα δούμε φαινόμενα που ήδη παρατηρήσαμε στις δυο, αλλά θα αντιμετωπίσουμε και νέες ενδιαφέρουσες δυναμικές συμπεριφορές.
Τέλος, στο τέταρτο κεφάλαιο θα αναφέρουμε κάποιες εφαρμογές που έχουν τα μοντέλα που εξετάσαμε. Θα δούμε δηλαδή πως το σύστημα Lotka-Volterra έχει εφαρμογή στην αλληλεπίδραση ιών και βακτηριοφάγων καθώς και πως βάσει της λογιστικής απεικόνισης μπορούμε να εκτιμήσουμε το μικρότερο δυνατό χρόνο που χρειάζεται ένας δρομέας για να διανύσει τα μέτρα.
|
|---|
