Επίλυση κυματικών εξισώσεων με τη μέθοδο της ομοτοπικής ανάλυσης

• Κύριος συγγραφέας: Ευσταθίου, Αγγελική
• Άλλοι συγγραφείς: Efstathiou, Aggeliki
• Γλώσσα: Greek
• Έκδοση: 2023
• Θέματα: Peakon κυματικές λύσεις; Κρουστικές κυματομορφές; Ομοτοπική ανάλυση; Προσεγγιστικές λύσεις μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων; Εξίσωση Novikov; Εξίσωση b-Novikov; Εξαναγκασμένη εξίσωση Burgers; Peakon wave solutions; Wavefronts; Homotopy analysis method; Approximate solutions of nonlinear differential equations; Novikov equation; b-Novikov equation; Forced Burgers equation

Το αντικείμενο της παρούσας διατριβής είναι η εύρεση αναλυτικών προσεγγιστικών λύσεων μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ) οι οποίες μοντελοποιούν τη διάδοση υδάτινων κυμάτων και δέχονται και μη ομαλές λύσεις. Αυτού του είδους οι εξισώσεις έχουν μελετηθεί ποικιλοτρόπως από πολλούς ερευνητές, και έχουν εκ νέου προσελκύσει έντονο ερευνητικό ενδιαφέρον, από τότε που οι Camassa και Holm ανακάλυψαν την ύπαρξη σολιτονικών λύσεων με αιχμή στην κορυφή, τα λεγόμενα peakons. Είναι γνωστό ότι, προβλήματα αρχικών ή συνοριακών τιμών μη γραμμικών ΜΔΕ, είναι δυσκολότερο να επιλυθούν από ότι τα αντίστοιχα γραμμικών ΜΔΕ ιδιαίτερα χρησιμοποιώντας αναλυτικές μεθόδους. Παρακινούμενοι από τη δυσκολία ή και αδυναμία εύρεσης λύσεων κλειστής μορφής μη γραμμικών ΜΔΕ και ειδικότερα λύσεων που παρουσιάζουν ασυνέχεια, καθώς και από την έλλειψη ακόμα και αριθμητικών αποτελεσμάτων για κάποιες εξισώσεις, εστιάζουμε στην εύρεση και μελέτη: peakon και antipeakon λύσεων της εξίσωσης Novikov, peakon λύσεων της εξίσωσης b-Novikov για διάφορες τιμές του ακέραιου b2 και τέλος λύσεων μετωπικού κύματος της εξαναγκασμένης εξίσωσης Burgers. Οι εξισώσεις Novikov και b-Novikov σχετίζονται στενά με τις εξισώσεις Camassa-Holm και Degasperis-Processi, δεδομένου ότι έχουν αρκετές κοινές ιδιότητες. Εντούτοις, οι εξισώσεις Novikov, και b-Novikov χαρακτηρίζονται από κυβικούς μη γραμμικούς όρους, εν αντιθέσει με τις εξισώσεις Camassa-Holm και Degasperis-Processi που χαρακτηρίζονται από τετραγωνικούς μη γραμμικούς όρους. Το 1992 προτάθηκε η μέθοδος της ομοτοπικής ανάλυσης (Homotopy Analysis Method, HAM) η οποία παρέχει ένα χρήσιμο αναλυτικό εργαλείο για τη διερεύνηση και επίλυση ισχυρά μη γραμμικών προβλημάτων, ακόμη και προβλημάτων με πολλαπλές λύσεις. Στην παρούσα διατριβή αξιοποιείται η HAM για τη μελέτη των εξισώσεων Novikov, b-Novikov, για ακέραιους b2 και της εξαναγκασμένης εξίσωσης Burgers. Απ' όλα όσα παρατίθενται στην παρούσα διατριβή, διαφαίνεται ότι η μέθοδος ομοτοπικής ανάλυσης μπορεί να συμβάλει σημαντικά στη μελέτη μη γραμμικών ΜΔΕ. Θα ήταν ενδιαφέρον, να μπορέσει να εφαρμοσθεί απευθείας στις προς διερεύνηση ΜΔΕ (και όχι στις αντίστοιχες ΣΔΕ) και να εξαχθούν ουσιαστικά ταυτόχρονα, διαφορετικού είδους λύσεις. Επιπλέον, θα ήταν ενδιαφέρον να διερευνηθεί η δυνατότητα εφαρμογής της HAM και για τον εντοπισμό multi-peakon λύσεων.