Επίλυση κυματικών εξισώσεων με τη μέθοδο της ομοτοπικής ανάλυσης
Το αντικείμενο της παρούσας διατριβής είναι η εύρεση αναλυτικών προσεγγιστικών λύσεων μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ) οι οποίες μοντελοποιούν τη διάδοση υδάτινων κυμάτων και δέχονται και μη ομαλές λύσεις. Αυτού του είδους οι εξισώσεις έχουν μελετηθεί ποικιλοτρόπως από πολλούς ερευνητ...
| Κύριος συγγραφέας: | |
|---|---|
| Άλλοι συγγραφείς: | |
| Γλώσσα: | Greek |
| Έκδοση: |
2023
|
| Θέματα: | |
| Διαθέσιμο Online: | https://hdl.handle.net/10889/25138 |
| id |
nemertes-10889-25138 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| institution |
UPatras |
| collection |
Nemertes |
| language |
Greek |
| topic |
Peakon κυματικές λύσεις Κρουστικές κυματομορφές Ομοτοπική ανάλυση Προσεγγιστικές λύσεις μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων Εξίσωση Novikov Εξίσωση b-Novikov Εξαναγκασμένη εξίσωση Burgers Peakon wave solutions Wavefronts Homotopy analysis method Approximate solutions of nonlinear differential equations Novikov equation b-Novikov equation Forced Burgers equation |
| spellingShingle |
Peakon κυματικές λύσεις Κρουστικές κυματομορφές Ομοτοπική ανάλυση Προσεγγιστικές λύσεις μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων Εξίσωση Novikov Εξίσωση b-Novikov Εξαναγκασμένη εξίσωση Burgers Peakon wave solutions Wavefronts Homotopy analysis method Approximate solutions of nonlinear differential equations Novikov equation b-Novikov equation Forced Burgers equation Ευσταθίου, Αγγελική Επίλυση κυματικών εξισώσεων με τη μέθοδο της ομοτοπικής ανάλυσης |
| description |
Το αντικείμενο της παρούσας διατριβής είναι η εύρεση αναλυτικών προσεγγιστικών λύσεων μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ) οι οποίες μοντελοποιούν τη διάδοση υδάτινων κυμάτων και δέχονται και μη ομαλές λύσεις. Αυτού του είδους οι εξισώσεις έχουν μελετηθεί ποικιλοτρόπως από πολλούς ερευνητές, και έχουν εκ νέου προσελκύσει έντονο ερευνητικό ενδιαφέρον, από τότε που οι Camassa και Holm ανακάλυψαν την ύπαρξη σολιτονικών λύσεων με αιχμή στην κορυφή, τα λεγόμενα peakons. Είναι γνωστό ότι, προβλήματα αρχικών ή συνοριακών τιμών μη γραμμικών ΜΔΕ, είναι δυσκολότερο να επιλυθούν από ότι τα αντίστοιχα γραμμικών ΜΔΕ ιδιαίτερα χρησιμοποιώντας αναλυτικές μεθόδους. Παρακινούμενοι από τη δυσκολία ή και αδυναμία εύρεσης λύσεων κλειστής μορφής μη γραμμικών ΜΔΕ και ειδικότερα λύσεων που παρουσιάζουν ασυνέχεια, καθώς και από την έλλειψη ακόμα και αριθμητικών αποτελεσμάτων για κάποιες εξισώσεις, εστιάζουμε στην εύρεση και μελέτη: peakon και antipeakon λύσεων της εξίσωσης Novikov, peakon λύσεων της εξίσωσης b-Novikov για διάφορες τιμές του ακέραιου b2 και τέλος λύσεων μετωπικού κύματος της εξαναγκασμένης εξίσωσης Burgers. Οι εξισώσεις Novikov και b-Novikov σχετίζονται στενά με τις εξισώσεις Camassa-Holm και Degasperis-Processi, δεδομένου ότι έχουν αρκετές κοινές ιδιότητες. Εντούτοις, οι εξισώσεις Novikov, και b-Novikov χαρακτηρίζονται από κυβικούς μη γραμμικούς όρους, εν αντιθέσει με τις εξισώσεις Camassa-Holm και Degasperis-Processi που χαρακτηρίζονται από τετραγωνικούς μη γραμμικούς όρους.
Το 1992 προτάθηκε η μέθοδος της ομοτοπικής ανάλυσης (Homotopy Analysis Method, HAM) η οποία παρέχει ένα χρήσιμο αναλυτικό εργαλείο για τη διερεύνηση και επίλυση ισχυρά μη γραμμικών προβλημάτων, ακόμη και προβλημάτων με πολλαπλές λύσεις. Στην παρούσα διατριβή αξιοποιείται η HAM για τη μελέτη των εξισώσεων Novikov, b-Novikov, για ακέραιους b2 και της εξαναγκασμένης εξίσωσης Burgers.
Απ' όλα όσα παρατίθενται στην παρούσα διατριβή, διαφαίνεται ότι η μέθοδος ομοτοπικής ανάλυσης μπορεί να συμβάλει σημαντικά στη μελέτη μη γραμμικών ΜΔΕ. Θα ήταν ενδιαφέρον, να μπορέσει να εφαρμοσθεί απευθείας στις προς διερεύνηση ΜΔΕ (και όχι στις αντίστοιχες ΣΔΕ) και να εξαχθούν ουσιαστικά ταυτόχρονα, διαφορετικού είδους λύσεις. Επιπλέον, θα ήταν ενδιαφέρον να διερευνηθεί η δυνατότητα εφαρμογής της HAM και για τον εντοπισμό multi-peakon λύσεων. |
| author2 |
Efstathiou, Aggeliki |
| author_facet |
Efstathiou, Aggeliki Ευσταθίου, Αγγελική |
| author |
Ευσταθίου, Αγγελική |
| author_sort |
Ευσταθίου, Αγγελική |
| title |
Επίλυση κυματικών εξισώσεων με τη μέθοδο της ομοτοπικής ανάλυσης |
| title_short |
Επίλυση κυματικών εξισώσεων με τη μέθοδο της ομοτοπικής ανάλυσης |
| title_full |
Επίλυση κυματικών εξισώσεων με τη μέθοδο της ομοτοπικής ανάλυσης |
| title_fullStr |
Επίλυση κυματικών εξισώσεων με τη μέθοδο της ομοτοπικής ανάλυσης |
| title_full_unstemmed |
Επίλυση κυματικών εξισώσεων με τη μέθοδο της ομοτοπικής ανάλυσης |
| title_sort |
επίλυση κυματικών εξισώσεων με τη μέθοδο της ομοτοπικής ανάλυσης |
| publishDate |
2023 |
| url |
https://hdl.handle.net/10889/25138 |
| work_keys_str_mv |
AT eustathiouangelikē epilysēkymatikōnexisōseōnmetēmethodotēsomotopikēsanalysēs AT eustathiouangelikē solutionofwaveequationsusingthehomotopyanalysismethod |
| _version_ |
1771297285312872448 |
| spelling |
nemertes-10889-251382023-06-22T03:56:35Z Επίλυση κυματικών εξισώσεων με τη μέθοδο της ομοτοπικής ανάλυσης Solution of wave equations using the homotopy analysis method Ευσταθίου, Αγγελική Efstathiou, Aggeliki Peakon κυματικές λύσεις Κρουστικές κυματομορφές Ομοτοπική ανάλυση Προσεγγιστικές λύσεις μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων Εξίσωση Novikov Εξίσωση b-Novikov Εξαναγκασμένη εξίσωση Burgers Peakon wave solutions Wavefronts Homotopy analysis method Approximate solutions of nonlinear differential equations Novikov equation b-Novikov equation Forced Burgers equation Το αντικείμενο της παρούσας διατριβής είναι η εύρεση αναλυτικών προσεγγιστικών λύσεων μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ) οι οποίες μοντελοποιούν τη διάδοση υδάτινων κυμάτων και δέχονται και μη ομαλές λύσεις. Αυτού του είδους οι εξισώσεις έχουν μελετηθεί ποικιλοτρόπως από πολλούς ερευνητές, και έχουν εκ νέου προσελκύσει έντονο ερευνητικό ενδιαφέρον, από τότε που οι Camassa και Holm ανακάλυψαν την ύπαρξη σολιτονικών λύσεων με αιχμή στην κορυφή, τα λεγόμενα peakons. Είναι γνωστό ότι, προβλήματα αρχικών ή συνοριακών τιμών μη γραμμικών ΜΔΕ, είναι δυσκολότερο να επιλυθούν από ότι τα αντίστοιχα γραμμικών ΜΔΕ ιδιαίτερα χρησιμοποιώντας αναλυτικές μεθόδους. Παρακινούμενοι από τη δυσκολία ή και αδυναμία εύρεσης λύσεων κλειστής μορφής μη γραμμικών ΜΔΕ και ειδικότερα λύσεων που παρουσιάζουν ασυνέχεια, καθώς και από την έλλειψη ακόμα και αριθμητικών αποτελεσμάτων για κάποιες εξισώσεις, εστιάζουμε στην εύρεση και μελέτη: peakon και antipeakon λύσεων της εξίσωσης Novikov, peakon λύσεων της εξίσωσης b-Novikov για διάφορες τιμές του ακέραιου b2 και τέλος λύσεων μετωπικού κύματος της εξαναγκασμένης εξίσωσης Burgers. Οι εξισώσεις Novikov και b-Novikov σχετίζονται στενά με τις εξισώσεις Camassa-Holm και Degasperis-Processi, δεδομένου ότι έχουν αρκετές κοινές ιδιότητες. Εντούτοις, οι εξισώσεις Novikov, και b-Novikov χαρακτηρίζονται από κυβικούς μη γραμμικούς όρους, εν αντιθέσει με τις εξισώσεις Camassa-Holm και Degasperis-Processi που χαρακτηρίζονται από τετραγωνικούς μη γραμμικούς όρους. Το 1992 προτάθηκε η μέθοδος της ομοτοπικής ανάλυσης (Homotopy Analysis Method, HAM) η οποία παρέχει ένα χρήσιμο αναλυτικό εργαλείο για τη διερεύνηση και επίλυση ισχυρά μη γραμμικών προβλημάτων, ακόμη και προβλημάτων με πολλαπλές λύσεις. Στην παρούσα διατριβή αξιοποιείται η HAM για τη μελέτη των εξισώσεων Novikov, b-Novikov, για ακέραιους b2 και της εξαναγκασμένης εξίσωσης Burgers. Απ' όλα όσα παρατίθενται στην παρούσα διατριβή, διαφαίνεται ότι η μέθοδος ομοτοπικής ανάλυσης μπορεί να συμβάλει σημαντικά στη μελέτη μη γραμμικών ΜΔΕ. Θα ήταν ενδιαφέρον, να μπορέσει να εφαρμοσθεί απευθείας στις προς διερεύνηση ΜΔΕ (και όχι στις αντίστοιχες ΣΔΕ) και να εξαχθούν ουσιαστικά ταυτόχρονα, διαφορετικού είδους λύσεις. Επιπλέον, θα ήταν ενδιαφέρον να διερευνηθεί η δυνατότητα εφαρμογής της HAM και για τον εντοπισμό multi-peakon λύσεων. The subject of this thesis is to find analytical approximate solutions of nonlinear partial differential equations (PDEs) that model the propagation of water waves and accept irregular solutions. These kinds of equations have been studied by many researchers, and have again attracted intense research interest since Camassa and Holm discovered the existence of peakon soliton solutions. It is well known that initial or boundary value problems of nonlinear PDEs are more difficult to solve than those of linear PDEs, especially using analytical methods. Motivated by the difficulty or inability to find closed-form solutions of nonlinear PDEs and in particular solutions that have discontinuity, as well as by the lack of even numerical results for some equations, we focus on finding and studying: peakon and antipeakon solutions of the Novikov equation, peakon solutions of the b-Novikov equation for various values of the integer b2 and finally wavefront solutions of the forced Burgers equation. The Novikov and b-Novikov equations are closely related to the Camassa-Holm and Degasperis-Processi equations, since they have several properties in common. However, the Novikov and b-Novikov equations are characterized by cubic nonlinear terms, in contrast to the Camassa-Holm and Degasperis-Processi equations which are characterized by quadratic nonlinear terms. In 1992, the Homotopy Analysis Method (HAM) was proposed, which provides a useful analytical tool for investigating and solving powerful nonlinear problems, even problems with multiple solutions. In this thesis, HAM is used to study the Novikov, b-Novikov equations, for integers b2 and the forced Burgers equation. The results included in this thesis, reveal that the method of homotopy analysis can contribute significantly to the study of nonlinear PDEs. It would be interesting if it could be applied directly to the PDEs to be investigated (and not to the corresponding ODEs) and to obtain essentially simultaneously, different kind of solutions. In addition, it would be interesting to explore the applicability of HAM in order to obtain multi-peakon solutions. 2023-06-21T10:21:45Z 2023-06-21T10:21:45Z 2023-06-20 https://hdl.handle.net/10889/25138 el application/pdf |
