| Περίληψη: | Στην παρούσα διατριβή μελετήσαμε την ολοκληρωσιμότητα του ανισοτροπικού προβλήματος Størmer (ASP) και του ισοσκελούς προβλημάτος τριών σωμάτων (IP), με εφαρμογή της θεωρίας Morales-Ramis-Simó. Τα αποτελέσματα της μελέτης δημοσιεύθηκαν στο περιοδικό Physica D: Nonlinear Phenomena.
Ένα σύστημα Hamilton SH, Ν βαθμών ελευθερίας, είναι ολοκληρώσιμο (κατά Liouville) όταν επιδέχεται Ν συναρτησιακώς ανεξάρτητα και σε ενέλιξη πρώτα ολοκληρώματα. Οι J.J. Morales-Ruiz, J.P. Ramis και C. Simó απέδειξαν ότι αν ένα SH είναι ολοκληρώσιμο, τότε η ταυτοτική συνιστώσα G0k της διαφορικής ομάδας Galois των εξισώσεων μεταβολών VE¬k τάξης k , που αντιστοιχούν σε μια ολοκληρωτική καμπύλη του SH, είναι αβελιανή.
Το ASP μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ένα σύστημα Hamilton δυο βαθμών ελευθερίας που περιέχει τις παραμέτρους pφ και ν2>0, το οποίο περιγράφει την κίνηση ενός φορτισμένου σωματιδίου υπό την επίδραση του μαγνητικού πεδίου ενός διπόλου. Οι Α. Almeida, T. Stuchi είχαν αποδείξει ότι το ASP είναι μη-ολοκληρώσιμο για pφ≠0 και ν2>0, ενω για pφ=0 είχαν αποδείξει τη μη-ολοκληρωσιμότητα των περιπτώσεων που αντιστοιχούν στις τιμές ν2≠5/12, 2/3. Η δική μας διερεύνηση απέδειξε ότι το ASP με pφ=0 (ASP0) είναι, επίσης, μη-ολοκληρώσιμο για ν2=5/12, 2/3. Αρχικά, με χρήση της μεθόδου Yoshida, αναλύσαμε τις G01 των VE¬1, που αντιστοιχούν σε δύο ολοκληρωτικές καμπύλες του ASP0, καταλήγοντας ότι οι G01 είναι μη-αβελιανές για ν2≠2/3. Στη συνέχεια, ορίσαμε τις VE3 κατά μήκος μιας τρίτης ολοκληρωτικής καμπύλης του ASP0 και δείξαμε ότι η αντίστοιχη G03 είναι μη-αβελιανή για ν2=2/3. Σύμφωνα με τη θεωρία Morales-Ramis-Simó, τα προαναφερόμενα αποδεικνύουν τη μη-ολοκληρωσιμότητα του ASΡ για pφ=0 και ν2>0.
Το ΙΡ είναι μια υποπερίπτωση του προβλήματος τριών σωμάτων και μπορεί να μελετηθεί ως ένα σύστημα Hamilton δύο βαθμών ελευθερίας με παραμέτρους pφ και m, m3>0. Η προγενέστερη ανάλυση του ΙΡ υπεδείκνυε τη μη-ολοκληρωσιμότητα του συστήματος, όμως είχε πραγματοποιηθεί με χρήση αριθμητικών μεθόδων. Βρίσκοντας από μια ολοκληρωτική καμπύλη για κάθε μια απο τις περιπτώσεις pφ=0, pφ≠0, ορίσαμε τις αντίστοιχες VE1 και αποδείξαμε τη μη-ολοκληρωσιμότητα του ΙΡ. Για pφ=0 χρησιμοποιήσαμε τη μέθοδο Yoshida για να μελετήσουμε την G01, ενώ για pφ≠0 εφαρμόσαμε τον αλγόριθμο Kovacic και ερευνητικά αποτελέσματα των D. Boucher, J.A. Weil για να διερευνήσουμε την αντίστοιχη G01. Οι G01 και στις δυο προαναφερόμενες περιπτώσεις είναι μη-αβελιανές, οπότε το ΙΡ είναι μη-ολοκληρώσιμο, σύμφωνα με τη θεωρία Morales-Ramis-Simó.
|
|---|
