| Περίληψη: | Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη καταστάσεων ανταγωνισμού μεταξύ χρηστών, για τη χρησιμοποίηση ενός συνόλου κοινόχρηστων πόρων. Για την μοντελοποίηση και ανάλυση των καταστάσεων αυτών χρησιμοποιούμε ως εργαλεία, έννοιες από την θεωρία παιγνίων, όπως ισορροπίες Nash, παίγνια συμφόρησης και μηχανισμοί συντονισμού. Ο κάθε κοινόχρηστος πόρος χρεώνει κάποιο κόστος στους χρήστες που τον χρησιμοποιούν. Θεωρούμε ότι οι χρήστες των κοινόχρηστων πόρων είναι εγωιστικοί, δηλαδή μοναδική τους επιδίωξη είναι η μεγιστοποίηση της προσωπικής τους ωφέλειας. Μια ισορροπία Nash είναι μια κατάσταση όπου κανένας χρήστης δεν μπορεί να αυξήσει το εγωιστικό του όφελος αν αλλάξει μονομερώς την στρατηγική του.
Πιο συγκεκριμένα ασχολούμαστε με το KP-μοντέλο γνωστό και ως μοντέλο παράλληλων ακμών και ιδιαίτερα με μεθόδους σύγκλισης σε αγνές ισορροπίες Nash, όπου δηλαδή οι στρατηγικές (ακμές) των χρηστών είναι ντετερμινιστικές. Γενικά, ένα παίγνιο (σύστημα) δεν έχει πάντα μια αγνή ισορροπία Nash. Ωστόσο, εμείς θα μελετήσουμε περιπτώσεις που εγγυημένα έχουν τουλάχιστον μια αγνή ισορροπία Nash. Ονομάζουμε πολιτική χρέωσης των ακμών τον τρόπο με τον οποίο υπολογίζεται το κόστος του κάθε χρήστη όταν χρησιμοποιεί μια ακμή.
Μια μέθοδος σύγκλισης σε μια αγνή ισορροπία Nash, είναι να επιτραπεί στους χρήστες να αλλάζουν εγωιστικά τις στρατηγικές τους μέχρι να καταλήξουν σε μια αγνή ισορροπία Nash. Ενδιαφερόμαστε για την ταχύτητα σύγκλισης σε μια αγνή ισορροπία Nash, δηλαδή το πλήθος των εγωιστικών αλλαγών στρατηγικών μέχρι να καταλήξουμε σε ισορροπία. Αρχικά, χρησιμοποιείται η πολιτική χρέωσης συνολικού φορτίου (Makespan), όπου κάθε ακμή χρεώνει το συνολικό της φορτίο σε κάθε χρήστη που την χρησιμοποιεί. Στην πιο απλή περίπτωση, η όλη διαδικασία χωρίζεται σε βήματα. Σε κάθε βήμα επιλέγεται, από το σύνολο των χρηστών που έχουν όφελος να αλλάξουν στρατηγική, ένας χρήστης ο οποίος αλλάζει στρατηγική. Η επιλογή γίνεται με βάση κάποιον αλγόριθμο προτεραιότητας. Για το μοντέλο αυτό, που ονομάζεται ESS-μοντέλο, η ταχύτητα σύγκλισης είναι στη χειρότερη περίπτωση εκθετική στο πλήθος των χρηστών. Παρουσιάζουμε την επίδραση των αλγορίθμων προτεραιότητας στην ταχύτητα σύγκλισης καθώς και αποτελέσματα για τρεις διαφορετικές κατηγορίες ακμών. Μια άλλη προσέγγιση, με εφαρμογή στα κατανεμημένα συστήματα, είναι η παράλληλη αλλαγή στρατηγικών από τους χρήστες (rerouting), όπου περισσότεροι από έναν χρήστες μπορούν να αλλάξουν ταυτόχρονα τη στρατηγική τους. Το μοντέλο αυτό υπερτερεί του ESS στην ταχύτητα σύγκλισης καθώς και στο πλήθος των πραγματικών καταστάσεων που μοντελοποιεί. Στη γενικότερη περίπτωση, όπου οι χρήστες επιτρέπεται να συνάπτουν συνασπισμούς (coalitions) μεταξύ τους, χρησιμοποιούμε έννοιες από τη συνεργατική θεωρία παιγνίων. Οπότε έχουμε να αντιμετωπίσουμε ομάδες χρηστών που αλλάζουν εγωιστικά τις ομαδικές στρατηγικές τους. Παρουσιάζουμε ένα ψευδοπολυωνυμικό φράγμα στην ταχύτητα σύγκλισης για μια ειδική περίπτωση όπου οι ακμές είναι πανομοιότυπες και επιτρέπονται συνασπισμοί πλήθους το πολύ δύο χρηστών.
Ένας άλλος τρόπος σύγκλισης σε μια αγνή ισορροπία Nash είναι η κατασκευή ενός αλγορίθμου που αναθέτει στρατηγικές στους χρήστες, όχι απαραίτητα με βάση τα εγωιστικά κριτήρια του καθενός, χωρίς να αυξάνει το κοινωνικό κόστος. Με τον όρο κοινωνικό κόστος αναφερόμαστε σε μια συνολική μετρική της απόδοσης του συστήματος σε συνάρτηση με τις στρατηγικές των χρηστών του συστήματος. Ο αλγόριθμος Nashify που παρουσιάζουμε, συγκλίνει σε μια αγνή ισορροπία Nash σε πολυωνυμικό πλήθος βημάτων, χωρίς να αυξάνει το κοινωνικό κόστος.
Στη συνέχεια, εισάγουμε την έννοια των μηχανισμών συντονισμού. Οι μηχανισμοί συντονισμού είναι ένα σύνολο πολιτικών χρέωσης για τις ακμές, που έχουν ως στόχο την παροχή κινήτρων στους εγωιστικούς χρήστες έτσι ώστε οι εγωιστικές αλλαγές των στρατηγικών τους να συγκλίνουν σε αγνές ισορροπίες Nash με μειωμένο κοινωνικό κόστος. Στην παρούσα εργασία, μελετάμε την επίδραση των μηχανισμών συντονισμού στην ταχύτητα σύγκλισης των εγωιστικών χρηστών σε μια ισορροπία Nash. Εξετάζουμε εκτός από την πολιτική χρέωσης συνολικού φορτίου (makespan) και κάποιες διαφορετικές πολιτικές χρέωσης (SJF, LJF, FIFO) και μελετάμε την επίδραση των αλγορίθμων προτεραιότητας στην ταχύτητα σύγκλισης τους. Παρουσιάζουμε και αποδεικνύουμε φράγματα στην ταχύτητα σύγκλισης για τις SJF και LJF πολιτικές που χρεώνουν τους χρήστες με βάση το μέγεθος των βαρών τους. Τέλος αποδεικνύουμε για την πολιτική χρέωσης FIFO, ένα γραμμικό άνω φράγμα στην ταχύτητα σύγκλισης για την ειδική περίπτωση των πανομοιότυπων ακμών και ένα ψευδοπολυωνυμικό άνω φράγμα για την γενική περίπτωση των ακμών.
Τελικά, αξιολογούμε πειραματικά την επίδραση των αλγορίθμων προτεραιότητας στις πολιτικές χρέωσης στο ESS μοντέλo με πανομοιότυπες ακμές. Ουσιαστικά, συγκρίνουμε τις πολιτικές χρέωσης συνολικού φορτίου, SJF, LJF και FIFO καθώς και το συνεργατικό με το μη συνεργατικό μοντέλο σχετικά με τη ταχύτητα σύγκλισης τους. Παρατηρούμε ότι για την συνολικού φορτίου, SJF, LJF και FIFO πολιτική χρέωσης τα πειραματικά αποτελέσματα επαληθεύουν τα θεωρητικά φράγματα. Δηλαδή η FIFO πολιτική παρουσιάζει ταχύτερη σύγκλιση από τις υπόλοιπες πολιτικές ανεξάρτητα του αλγόριθμου προτεραιότητας. Για την περίπτωση των συνασπισμών με πολιτική χρέωσης συνολικού φορτίου, παρατηρούμε ότι η ταχύτητα σύγκλισης είναι πολυωνυμική στο πλήθος των χρηστών ακόμα και στην χειρότερη επιλογή συνασπισμών. Το αποτέλεσμα αυτό υποδεικνύει ότι το ψευδοπολυωνυμικό θεωρητικό άνω φράγμα μπορεί να βελτιωθεί.
|
|---|
