| Περίληψη: | Η παρούσα διατριβή εκπονήθηκε ως μια διπλώματική εργασία υπό την επίβλεψη του καθηγητή Αναστάσιου Μπούντη (Τμήμα Μαθηματικό Πανεπιστήμιο Πατρών), κατά την διάρκεια του ακαδημαικού έτους 2012-2013. Στόχος μας ήταν να μελετήσουμε τόσο θεωρητικά όσο και αριθμητικά μη τετριμένες λύσεις και να κατανοήσουμε, σε γενικές γραμμές, τη συμπεριφορά της μη γραμμικής διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης van der Pol.
Στη μελέτη που ακολουθεί εξετάζονται δύο περιπτώσεις της εξίσωσης van der Pol: η αυτόνομη μορφή και η μή αυτόνομη με περιοδικό εξαναγκασμό. Η εξίσωση που μελετάμε είναι μη γραμμική, οπότε
για την ανάλυσή της χρησιμοποιείται η θεωρία διαταραχών μη γραμμικών
διαφορικών εξισώσεων. Η θεωρία αυτή χρησιμοποιείται για τη
κατασκευή προσεγγιστικών λύσεων, οι οποίες
στη συνέχεια συγκρίνονται με τα αντίστοιχα αποτελέσματα που παράγονται
μέσω αριθμητικής ολοκλήρωσης. Σχολιάζονται οι ομοιότητες και οι
διαφορές μεταξύ των μεθόδων, τα πλεονεκτήματα και οι αδυναμίες τους.
Συζητούνται επίσης ορισμένες από τις πιο χαρακτηριστικές ιδιότητες των λύσεων
τόσο στη αυτόνομη, όσο και τη μη αυτόνομη μορφή της εξίσωσης.
Ειδικότερα στο Kεφάλαιο 2 επικεντρωνόμαστε στην αυτόνομη μορφή και παραθέτουμε βασικούς ορισμούς και θεωρήματα της θεωρίας μη γραμμικών
Σ.Δ.Ε, για την ποιοτική μελέτη της εξίσωσης. Μελετάται το
είδος και η ευστάθεια των σημείων ισορροπίας και αποδεικνύεται η ύπαρξη
οριακού κύκλου μέσω της θεωρίας Poincare-Bendixson. Με χρήση των μεθόδων ασυμπτωτικής επέκτασης,
Poincare-Lindstedt και πολλαπλών χρονικών κλιμάκων της
θεωρίας διαταραχών, προσδιορίζονται διαφορετικές προσεγγίσεις του
οριακού κύκλου της εξίσωσης για 0<ε<<1. Σε κάθε περίπτωση
κατασκευάζονται συγκριτικά διαγράμματα, όπου περιγράφονται οι λύσεις που δίνουν η
αριθμητική ολοκλήρωση και οι αναλυτικές
προσεγγίσεις.
Στο Kεφάλαιο 3 αναλύονται μη αυτόνομες μορφές της εξίσωσης και
διακρίνονται δύο περιπτώσεις: Διέγερση συχνότητας κοντά σε αυτή του
αυτόνομου συστήματος και διέγερση συχνότητας μακριά από αυτή του
αυτόνομου συστήματος.
Στην πρώτη περίπτωση υπολογίζονται προσεγγίσεις των περιοδικών
λύσεων της εξίσωσης με τις μεθόδους Poincare-Lindstedt και
πολλαπλών χρονικών κλιμάκων και παρουσιάζονται σε διαγράμματα οι περιοδικές και οι σχεδόν-περιοδικές λύσεις για ορισμένες τιμές των παραμέτρων.
Στη δεύτερη περίπτωση υπολογίζονται προσεγγιστικές λύσεις με τη
μέθοδο δύο χρονικών κλιμάκων και κατασκευάζονται συγκριτικά
διαγράμματα με τη λύση που
δίνει η αριθμητική ολοκλήρωση, για τιμές παραμέτρων που αντιστοιχούν σε περιοδικές και σχεδόν-περιοδικές καταστάσεις.
Στο τέλος του κεφαλαίου δείχνεται η ύπαρξη χαοτικής συμπεριφοράς στο σύστημα μας.
Το Παράρτημα Α περιλαμβάνει τα κυριότερα στοιχεία, ορισμούς και
θεωρήματα, της θεωρίας μη γραμμικών Σ.Δ.Ε, τα οποία
αναφέρονται και εφαρμόζονται στα Κεφάλαια 2 και 3. Τέλος περέχονται όλα τα προγράμματα σε Mathematica, με τα οποία κατασκευάστηκαν τα διαγράμματα της
εργασίας και πραγματοποιήθηκε η αριθμητική ολοκλήρωση των εξισώσεων.
|
|---|
