| Περίληψη: | Για την επίλυση προβλημάτων πολλαπλών πεδίων / πολλαπλών φυσικών έχουν προταθεί διάφορες τεχνικές στη βιβλιογραφία. Οι μέθοδοι χαλάρωσης στις διεπαφές είναι μια ενδιαφέρουσα προσέγγιση για την επίλυση αυτών των προβλημάτων. Υποθέτοντας κάποιες αρχικές τιμές στις διεπαφές του προβλήματος, οι μέθοδοι χαλάρωσης στις διεπαφές επιλύουν επαναληπτικά τα υποπροβλήματα και χαλαρώνουν τις τιμές στις διεπαφές έως ότου επιτευχθεί σύγκλιση. Τα κυριότερα πλεονεκτήματα των μεθόδων αυτών είναι ότι οι ρυθμοί σύγκλισής τους εξαρτώνται μόνο από τις παραμέτρους των ίδιων των προβλημάτων, τις παραμέτρους που σχετίζονται με την ανάλυση των προβλημάτων σε υποπροβλήματα και τις παραμέτρους που σχετίζονται με τον τελεστή που εφαρμόζεται στις διεπαφές.
Στην παρούσα μεταπτυχιακή εργασία παρουσιάζεται μια νέα υλοποίηση μιας μεθόδου χαλάρωσης στις διεπαφές, της μεθόδου GEO. Η GEO βασίζεται σε έναν απλό μηχανισμό γεωμετρικής διόρθωσης και δρα επαναληπτικά, ώστε να χαλαρώσει τις τιμές στις διεπαφές. Πιο συγκεκριμένα, προσθέτει στις παλιές τιμές των διεπαφών έναν γεωμετρικά σταθμισμένο συνδυασμό των κανονικών παραγώγων των οριακών σημείων των γειτονικών πεδίων.
Η υλοποίηση της μεθόδου GEO γίνεται στην πλατφόρμα FEniCS, η οποία είναι μια συλλογή ελεύθερου λογισμικού για την αυτοματοποιημένη, αποδοτική υλοποίηση διαφορικών εξισώσεων. Η υλοποίηση πραγματοποιείται με τρόπο τέτοιο που ο χρήστης να μπορεί εύκολα να ορίζει τις ιδιότητες των πεδίων του προβλήματος (όπως, γεωμετρία του προβλήματος, τελεστής μερικής διαφορικής εξίσωσης, οριακές συνθήκες, συνθήκες διεπαφών). Στο παρασκήνιο γίνεται η δημιουργία ή / και η βελτιστοποίηση των πλεγμάτων (τριγωνικά στοιχεία) για κάθε πεδίο του προβλήματος, η επίλυση των τοπικών προβλημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων και η εμφάνιση των υπολογισμένων τιμών για το πρόβλημα συνολικά και για τις διεπαφές. Η κυριότερη πρόκληση της υλοποίησης είναι η πρόσβαση στις τιμές των λύσεων στις διεπαφές και η εισαγωγή των χαλαρωμένων τιμών πίσω στα υποπροβλήματα για να αποτελέσουν τις οριακές συνθήκες των υποπροβλημάτων.
Πραγματοποιούνται πειράματα σε προβλήματα-μοντέλα, ώστε να ελεγχθεί η εφαρμοσιμότητα και η σύγκλιση της μεθόδου. Στη συνέχεια, υλοποιείται μια παράλληλη έκδοση της μεθόδου και πραγματοποιούνται συγκριτικά πειράματα απόδοσης. Η παράλληλη υλοποίησή μας αποδεικνύεται πολύ χρήσιμη, ειδικά για μεγάλα προβλήματα.
|
|---|
