Εισαγωγή στη θεωρία υπερκυκλικών τελεστών

Είναι ευρέως διαδεδομένο ότι η έννοια του χάους συνδέεται με τη μη γραμμικότητα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι διαισθητικά περιμένουμε από μία γραμμική απεικόνιση να παρουσιάζει μία ̔ ̔ προβλέψιμη ̓ ̓ συμπεριφορά. Κάτι το οποίο όμως δεν αληθεύει. Πρώτος ο G.D. Birkho...

Πλήρης περιγραφή

Λεπτομέρειες βιβλιογραφικής εγγραφής
Κύριος συγγραφέας:	Σουρμελίδης, Αθανάσιος
Άλλοι συγγραφείς:	Βλάχου, Βάγια
Μορφή:	Thesis
Γλώσσα:	Greek
Έκδοση:	2015
Θέματα:	Υπερκυκλικοί τελεστές Γραμμικό χάος Hypercyclic operators Linear chaos 515.39
Διαθέσιμο Online:	http://hdl.handle.net/10889/8934

id	nemertes-10889-8934
record_format	dspace
institution	UPatras
collection	Nemertes
language	Greek
topic	Υπερκυκλικοί τελεστές Γραμμικό χάος Hypercyclic operators Linear chaos 515.39
spellingShingle	Υπερκυκλικοί τελεστές Γραμμικό χάος Hypercyclic operators Linear chaos 515.39 Σουρμελίδης, Αθανάσιος Εισαγωγή στη θεωρία υπερκυκλικών τελεστών
description	Είναι ευρέως διαδεδομένο ότι η έννοια του χάους συνδέεται με τη μη γραμμικότητα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι διαισθητικά περιμένουμε από μία γραμμική απεικόνιση να παρουσιάζει μία ̔ ̔ προβλέψιμη ̓ ̓ συμπεριφορά. Κάτι το οποίο όμως δεν αληθεύει. Πρώτος ο G.D. Birkhoff (1929) βρήκε ένα παράδειγμα ενός τελεστή με ένα σημαντικό στοιχείο του χάους: ο τελεστής είχε πυκνή τροχιά. Στη συνέχεια ακολούθησαν οι G.R. Maclane (1952) και S. Rolewisz (1969), οι οποιοί βρήκαν επιπλέον παραδείγματα τελεστών με πυκνή τροχιά. Παρακινούμενοι από αυτά τα παραδείγματα, πολλοί ερευνητές άρχισαν να μελετούν την έννοια του χάους υπό το πρίσμα της γραμμικότητας, ονομάζοντας τους τελεστές με πυκνή τροχιά υπερκυκλικούς. Το καθοριστικό βήμα έγινε από τους G. Godefroy και J.H. Shapiro (1991), οι οποίοι όχι μόνο ανακάλυψαν καινούργιες κλάσεις υπερκυκλικών τελεστών, αλλά πρότειναν επίσης να γίνει αποδεκτός ο ορισμός του (μη γραμμικου) χάους, που είχε δοθει από τον Devaney, ως ο ορισμός του γραμμικού χάους: ́Ενας τελεστής είναι χαοτικός αν: 1) έχει πυκνή τροχιά, 2) έχει ευαίσθητη εξάρτηση στις αρχικές συνθήκες, 3) το σύνολο των περιοδικών του σημείων είναι πυκνό. Σκοπός αυτής της εργασίας, η οποία βασίζεται στο βιβλίο Linear Chaos των Karl-G. Grosse- Erdmann και A.Peris Manguillot, είναι να γίνει μία εισαγωγή στη θεωρία των υπερκυκλικών τελεστών και ταυτόχρονα να παρουσιαστούν ορισμένα από τα πιο θεμελιώδη θεωρήματα της θεωρίας αυτής. Στο 1ο κεφάλαιο γίνεται μία εισαγωγή στη θεωρία των δυναμικών συστημάτων (όχι απαραίτητα γραμμικών) και παρουσιάζονται ορισμένα αποτελέσματα με βασικότερο αυτών, το θεώρημα του Birkhoff που δίνει μία συνθήκη ώστε μία απεικόνιση να έχει πυκνή τροχιά. Στο 2ο κεφάλαιο γίνεται η κατασκευή των χώρων Fr ́echet, που είναι μία γενίκευση των χώρων Banach και στη συνέχεια μεταφέρουμε τα αποτελέσματα του 1ου κεφαλαίου πάνω σε γραμμικά δυναμικά συστήματα. Στο 3ο κεφάλαιο παρουσιάζονται ορισμένα κριτήρια που αν ικανοποιεί ένας τελεστής, θα είναι υπερκυκλικός ή ακόμα και χαοτικός, με τελικό το κριτήριο Υπερκυκλικότητας. Στο 4ο κεφάλαιο παρουσιάζονται δύο από τα σπουδαιότερα θεωρήματα της θεωρίας των υπερκυκλικών τελεστών: 1)το θεώρημα της Ansari, 2)το θεώρημα των Bourdon-Feldmann. Στο 5ο κεφάλαιο παρουσιάζεται μία από τις πιο πρόσφατες έννοιες στη θεωρία των υπερκυκλικών τελεστών και που έχει γεννηθεί από την εργοδική θεωρία: αυτή της συχνής υπερκυκλικότητας. Τέλος, στο 6ο κεφάλαιο μελετάται η ύπαρξη κοινών υπερκυκλικών διανυσμάτων μίας υπερα- ριθμήσιμης οικογένειας τελεστών.
author2	Βλάχου, Βάγια
author_facet	Βλάχου, Βάγια Σουρμελίδης, Αθανάσιος
format	Thesis
author	Σουρμελίδης, Αθανάσιος
author_sort	Σουρμελίδης, Αθανάσιος
title	Εισαγωγή στη θεωρία υπερκυκλικών τελεστών
title_short	Εισαγωγή στη θεωρία υπερκυκλικών τελεστών
title_full	Εισαγωγή στη θεωρία υπερκυκλικών τελεστών
title_fullStr	Εισαγωγή στη θεωρία υπερκυκλικών τελεστών
title_full_unstemmed	Εισαγωγή στη θεωρία υπερκυκλικών τελεστών
title_sort	εισαγωγή στη θεωρία υπερκυκλικών τελεστών
publishDate	2015
url	http://hdl.handle.net/10889/8934
work_keys_str_mv	AT sourmelidēsathanasios eisagōgēstētheōriayperkyklikōntelestōn AT sourmelidēsathanasios anintroductiontothetheoryofhypercyclicoperators
_version_	1771297141681029120
spelling	nemertes-10889-89342022-09-05T05:00:27Z Εισαγωγή στη θεωρία υπερκυκλικών τελεστών An introduction to the theory of hypercyclic operators Σουρμελίδης, Αθανάσιος Βλάχου, Βάγια Νεστορίδης, Βασίλειος Ελευθεράκης, Γεώργιος Βλάχου, Βάγια Sourmelidis, Athanasios Υπερκυκλικοί τελεστές Γραμμικό χάος Hypercyclic operators Linear chaos 515.39 Είναι ευρέως διαδεδομένο ότι η έννοια του χάους συνδέεται με τη μη γραμμικότητα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι διαισθητικά περιμένουμε από μία γραμμική απεικόνιση να παρουσιάζει μία ̔ ̔ προβλέψιμη ̓ ̓ συμπεριφορά. Κάτι το οποίο όμως δεν αληθεύει. Πρώτος ο G.D. Birkhoff (1929) βρήκε ένα παράδειγμα ενός τελεστή με ένα σημαντικό στοιχείο του χάους: ο τελεστής είχε πυκνή τροχιά. Στη συνέχεια ακολούθησαν οι G.R. Maclane (1952) και S. Rolewisz (1969), οι οποιοί βρήκαν επιπλέον παραδείγματα τελεστών με πυκνή τροχιά. Παρακινούμενοι από αυτά τα παραδείγματα, πολλοί ερευνητές άρχισαν να μελετούν την έννοια του χάους υπό το πρίσμα της γραμμικότητας, ονομάζοντας τους τελεστές με πυκνή τροχιά υπερκυκλικούς. Το καθοριστικό βήμα έγινε από τους G. Godefroy και J.H. Shapiro (1991), οι οποίοι όχι μόνο ανακάλυψαν καινούργιες κλάσεις υπερκυκλικών τελεστών, αλλά πρότειναν επίσης να γίνει αποδεκτός ο ορισμός του (μη γραμμικου) χάους, που είχε δοθει από τον Devaney, ως ο ορισμός του γραμμικού χάους: ́Ενας τελεστής είναι χαοτικός αν: 1) έχει πυκνή τροχιά, 2) έχει ευαίσθητη εξάρτηση στις αρχικές συνθήκες, 3) το σύνολο των περιοδικών του σημείων είναι πυκνό. Σκοπός αυτής της εργασίας, η οποία βασίζεται στο βιβλίο Linear Chaos των Karl-G. Grosse- Erdmann και A.Peris Manguillot, είναι να γίνει μία εισαγωγή στη θεωρία των υπερκυκλικών τελεστών και ταυτόχρονα να παρουσιαστούν ορισμένα από τα πιο θεμελιώδη θεωρήματα της θεωρίας αυτής. Στο 1ο κεφάλαιο γίνεται μία εισαγωγή στη θεωρία των δυναμικών συστημάτων (όχι απαραίτητα γραμμικών) και παρουσιάζονται ορισμένα αποτελέσματα με βασικότερο αυτών, το θεώρημα του Birkhoff που δίνει μία συνθήκη ώστε μία απεικόνιση να έχει πυκνή τροχιά. Στο 2ο κεφάλαιο γίνεται η κατασκευή των χώρων Fr ́echet, που είναι μία γενίκευση των χώρων Banach και στη συνέχεια μεταφέρουμε τα αποτελέσματα του 1ου κεφαλαίου πάνω σε γραμμικά δυναμικά συστήματα. Στο 3ο κεφάλαιο παρουσιάζονται ορισμένα κριτήρια που αν ικανοποιεί ένας τελεστής, θα είναι υπερκυκλικός ή ακόμα και χαοτικός, με τελικό το κριτήριο Υπερκυκλικότητας. Στο 4ο κεφάλαιο παρουσιάζονται δύο από τα σπουδαιότερα θεωρήματα της θεωρίας των υπερκυκλικών τελεστών: 1)το θεώρημα της Ansari, 2)το θεώρημα των Bourdon-Feldmann. Στο 5ο κεφάλαιο παρουσιάζεται μία από τις πιο πρόσφατες έννοιες στη θεωρία των υπερκυκλικών τελεστών και που έχει γεννηθεί από την εργοδική θεωρία: αυτή της συχνής υπερκυκλικότητας. Τέλος, στο 6ο κεφάλαιο μελετάται η ύπαρξη κοινών υπερκυκλικών διανυσμάτων μίας υπερα- ριθμήσιμης οικογένειας τελεστών. It is widespread that the concept of chaos is connected with the nonlinearity. This is because we intuitively expect from a linear map to dispaly a ''predictable'' behavior. Something which, however, is not true. First the G.D. Birkhoff (1929) found an example of an operator with a significant element of chaos: the operator had dense orbit. Then followed the G.R. Maclane (1952) and S. Rolewisz (1969), who found additional examples of operators with dense orbit. Motivated by these examples, many researchers began to study the concept of chaos in the light of linearity, naming the operators with dense orbit, hypercyclic. The decisive step was made by G. Godefroy and J.H. Shapiro (1991), who not only discovered new classes of hypercyclic operators, but also suggested to accept the definition of (nonlinear) chaos, which was given by Devaney, as the definition of the linear chaos: An operator is chaotic if: 1) it has dense orbit, 2) it has a sensitive dependence on initial conditions, 3) the set of periodic points is dense. The purpose of this master's thesis, which is based on the book Linear Chaos of Karl-G. Grosse- Erdmann and A.Peris Manguillot, is to make an introduction to the theory of hypercyclic operators and simultaneously to present some of the most fundamental theorems of this theory. The first chapter introduces the reader to the basic concepts of the theory of dynamical systems (not necessarily linear) and present some results of this theory. One of these is Birkhoff's theorem which gives a condition for a map to have a dense orbit. In the second chapter we construct the Frechet spaces, which are a generalization of Banach spaces and then transfer the results of the first chapter on linear dynamic systems. The third chapter presents certain criteria which if an operator satisfies, it will be hypercyclic or even chaotic. In the 4th chapter are presented two of the most important theorems of the theory of hypercyclic operators : 1) the theorem of Ansari, 2) the theorem of Bourdon-Feldmann. In the fifth chapter presents one of the latest concepts in the theory of hypercyclic operators and which is born from the ergodic theory: the frequently hypercyclic operators. Finally, in chapter 6 we study the existence of common vectors hypercyclic vectors of an infinite family of operators. 2015-11-09T09:57:35Z 2015-11-09T09:57:35Z 2015-07-15 Thesis http://hdl.handle.net/10889/8934 gr 0 application/pdf

Εισαγωγή στη θεωρία υπερκυκλικών τελεστών

Παρόμοια τεκμήρια