| Περίληψη: | Θεωρούμε μια ακολουθία n δυαδικών πειραμάτων (Επιτυχία - Αποτυχία) και την τυχαία μεταβλητή Εn,k η οποία απαριθμεί τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους ακριβώς k (k ≥ 1) στην ακολουθία. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται μια μελέτη της τυχαίας μεταβλητής αυτής η οποία στηρίζεται στην καταγραφή και ανάλυση μεθόδων που έχουν εμφανισθεί στην διεθνή βιβλιογραφία για τον προσδιορισμό της ακριβούς και ασυμπτωτικής κατανομής της, της πιθανογεννήτριάς της και των ροπών της. Πιο συγκεκριμένα, αρχικά αναπτύσσεται η μέθοδος εμφύτευσης διακριτής τυχαίας μεταβλητής μη αρνητικών τιμών σε κατάλληλη Μαρκοβιανή αλυσίδα, για την εύρεση της ακριβούς συνάρτησης πιθανότητας. Η τυχαία μεταβλητή κατατάσσεται στις εμφυτεύσιμες σε Μαρκοβιανή αλυσίδα επιστρέψιμου τύπου και δίνονται αναδρομικές σχέσεις που ικανοποιεί η συνάρτηση πιθανότητας, η πιθανογεννήτρια και οι ροπές της. Η μελέτη αυτή γίνεται για ακολουθίες ανεξάρτητων πειραμάτων Bernoulli, όχι κατ’ ανάγκη ισόνομων. Στη συνέχεια μελετάται η κατανομή, η μέση τιμή και η διασπορά της τυχαίας μεταβλητής μέσω συνδυαστικών μεθόδων. Η μελέτη αυτή δίνει αποτελέσματα για ανεξάρτητες και ισόνομες ακολουθίες Bernoulli και επεκτείνεται για ακολουθίες δυαδικών πειραμάτων που προκύπτουν από το δειγματοληπτικό σχήμα Pόlya – Eggenberger. Επίσης περιγράφεται η μέθοδος και στην περίπτωση που τα δυαδικά πειράματα είναι διατεταγμένα σε κύκλο. Στην εργασία παρουσιάζεται επίσης μια μελέτη για την ασυμπτωτική συμπεριφορά της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής καθώς και αριθμητικά αποτελέσματα για την περαιτέρω διευκρίνηση των μεθόδων που αναπτύσσονται. Η μελέτη στηρίχτηκε σε ερευνητικά αποτελέσματα που περιέχονται στις εργασίες:
Fu, J.C. and Koutras, M.V. (1994). Distribution theory of runs: A Markov chain approach. Journal of the American Statistical Association 89, 1050-1058.
Han, Q., Aki, S. (1999). Joint distributions of runs in a sequence of multi-state trials. Ann. Inst. Statist. Math., 51(3), 419-447.
Koutras, M.V. and Alexandrou, V.A.(1995). Runs, scans and urn model distributions: A Unifed Markov Chain Approach. Annals of Mathematical Statistics, 47.4, 743-766.
Makri F. S., Philippou A. N. and Psillakis Z.M. (2007). Success run statistics defined on a urn model, Advances in Applied Probability, 39:991-1019
Makri F.S., Psillakis Z.M. (2011). On success runs of fixed length in Bernoulli sequence: Exact and asymptotic results. Computers and Mathematics with Applications, 61,761-772.
Mood A.M.(1940).The distribution theory of runs. The Annals of Mathematical Statistics, 11, 367-392.
Sinha, K., Sinha, B.P. (2009). On the distribution of runs of ones in binary strings. Computers and Mathematics with Applications, 58, 1816-1829.
|
|---|
