Κατηγορική θεωρία Galois
Ένα από τα παλαιότερα προβλήματα της Άλγεβρας ήταν το πρόβλημα εύρεσης των ριζών μίας πολυωνυμικής εξίσωσης. Από την αρχαιότητα σημειώθηκαν πολλές προσπάθειες επίλυσης αυτού του προβλήματος και τελικά στις αρχές του 1800 έχουμε την απόδειξη του αδυνάτου της λύσης της γενικής εξίσωσης πέμπτου βαθμού....
| Κύριος συγγραφέας: | |
|---|---|
| Άλλοι συγγραφείς: | |
| Μορφή: | Thesis |
| Γλώσσα: | Greek |
| Έκδοση: |
2016
|
| Θέματα: | |
| Διαθέσιμο Online: | http://hdl.handle.net/10889/9489 |
| id |
nemertes-10889-9489 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nemertes-10889-94892022-09-05T20:46:22Z Κατηγορική θεωρία Galois Categorical Galois theory Καραβασίλη, Αικατερίνη Καραζέρης, Παναγής Καραζέρης, Παναγής Τζερμιάς, Παύλος Λεντούδης, Παύλος Karavasili, Aikaterini Επέκταση Galois Ανταλλοίωτος ισομορφισμός Προπεπερασμένη ομάδα Galois exception Contravariant isomorphism Profinite group 512.32 Ένα από τα παλαιότερα προβλήματα της Άλγεβρας ήταν το πρόβλημα εύρεσης των ριζών μίας πολυωνυμικής εξίσωσης. Από την αρχαιότητα σημειώθηκαν πολλές προσπάθειες επίλυσης αυτού του προβλήματος και τελικά στις αρχές του 1800 έχουμε την απόδειξη του αδυνάτου της λύσης της γενικής εξίσωσης πέμπτου βαθμού. Όμως έμεινε το πρόβλημα της εύρεσης των συνθηκών για τις οποίες μία εξίσωση μπορεί να λυθεί με ριζικά, το οποίο λύθηκε το 1832 από τον νεαρό Γάλλο μαθηματικό Evariste Galois και δημοσιεύθηκε στη Γαλλική Ακαδημία το 1843. Στο πρώτο κεφάλαιο εισάγουμε μερικές βασικές έννοιες, της άλγεβρας, της θεωρίας κατηγοριών και της τοπολογίας οι οποίες είναι χρήσιμες για τη συνέχεια. Στο δεύτερο κεφάλαιο της εργασίας, αναφερόμαστε στα βασικά κομμάτια της θεωρίας Galois, καταλήγοντας στην αντιστοιχία μεταξύ διατεταγμένων συνόλων ενδιάμεσων επεκτάσεων σωμάτων, αφενός, και υποομάδων της ομάδας αυτομορφισμών της επέκτασης, αφεταίρου. Στο τρίτο κεφάλαιο αναφερόμαστε στη θεωρία Galois κατά Grothendieck, που επεκτείνει την κλασική αντιστοιχία Galois σε μία ανταλλοίωτη ισοδυναμία μεταξύ κατάλληλων κατηγοριών. Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας μας αναφερόμαστε στην άπειρη θεωρία Galois, όπου οι επεκτάσεις που χρησιμοποιούμε είναι αυθαίρετες και όχι απαραίτητα πεπερασμένου βαθμού. Σε αυτήν την περίπτωση παίζει καθοριστικό ρόλο η τοπολογία της ομάδας Galois, αφού στη μία πλευρά της αντιστοιχίας εμφανίζονται τώρα οι κλειστές υποομάδες της ομάδας Galois. Και εδώ η αντιστοιχία Galois επεκτείνεται σε μία ανταλλοίωτη ισοδυναμία κατάλληλων κατηγοριών. One of the oldest problems of Algebra has been the problem of determining the square root of a polynomial equation. Since antiquity there have been many attempts to provide a solution to this problem and finally, towards the end of 1800 we have proof of the inability to solve a general quintic equation (degree five equation). Nonetheless, the problem of determining the necessary and sufficient conditions under which an equation can be solved remained to be solved in 1832 by the young, French mathematician, Evariste Galois and then be published in French Academy in 1843. In the first chapter we introduce basic principles, of algebra, of category theory and of topology which are useful later. In the second chapter of the paper, we refer to the basic aspects of Galois’ theory, in particular the correspondence between the partially ordered sets of intermediate extensions, on the one hand, and subgroups of the group of automorphisms of the extension, on the other hand. In the third chapter we present the Galois theory of Grothendieck, which extends the classical Galois correspondence to a contravariant equivalence between suitable categories. In the fourth and last chapter of this work we elaborate on Galois theory, where the exceptions used are arbitrary and not necessarily of a finite degree. The decisive role here is played by the topology of the Galois group, since at the one side of the correspondence appear now the closed subgroups of the Galois group. The Galois correspondence also extends here to a contravariant equivalence between suitable categories. 2016-07-25T07:36:10Z 2016-07-25T07:36:10Z 2016-04-12 Thesis http://hdl.handle.net/10889/9489 gr 0 application/pdf |
| institution |
UPatras |
| collection |
Nemertes |
| language |
Greek |
| topic |
Επέκταση Galois Ανταλλοίωτος ισομορφισμός Προπεπερασμένη ομάδα Galois exception Contravariant isomorphism Profinite group 512.32 |
| spellingShingle |
Επέκταση Galois Ανταλλοίωτος ισομορφισμός Προπεπερασμένη ομάδα Galois exception Contravariant isomorphism Profinite group 512.32 Καραβασίλη, Αικατερίνη Κατηγορική θεωρία Galois |
| description |
Ένα από τα παλαιότερα προβλήματα της Άλγεβρας ήταν το πρόβλημα εύρεσης των ριζών μίας πολυωνυμικής εξίσωσης. Από την αρχαιότητα σημειώθηκαν πολλές προσπάθειες επίλυσης αυτού του προβλήματος και τελικά στις αρχές του 1800 έχουμε την απόδειξη του αδυνάτου της λύσης της γενικής εξίσωσης πέμπτου βαθμού. Όμως έμεινε το πρόβλημα της εύρεσης των συνθηκών για τις οποίες μία εξίσωση μπορεί να λυθεί με ριζικά, το οποίο λύθηκε το 1832 από τον νεαρό Γάλλο μαθηματικό Evariste Galois και δημοσιεύθηκε στη Γαλλική Ακαδημία το 1843.
Στο πρώτο κεφάλαιο εισάγουμε μερικές βασικές έννοιες, της άλγεβρας, της θεωρίας κατηγοριών και της τοπολογίας οι οποίες είναι χρήσιμες για τη συνέχεια. Στο δεύτερο κεφάλαιο της εργασίας, αναφερόμαστε στα βασικά κομμάτια της θεωρίας Galois, καταλήγοντας στην αντιστοιχία μεταξύ διατεταγμένων συνόλων ενδιάμεσων επεκτάσεων σωμάτων, αφενός, και υποομάδων της ομάδας αυτομορφισμών της επέκτασης, αφεταίρου. Στο τρίτο κεφάλαιο αναφερόμαστε στη θεωρία Galois κατά Grothendieck, που επεκτείνει την κλασική αντιστοιχία Galois σε μία ανταλλοίωτη ισοδυναμία μεταξύ κατάλληλων κατηγοριών. Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας μας αναφερόμαστε στην άπειρη θεωρία Galois, όπου οι επεκτάσεις που χρησιμοποιούμε είναι αυθαίρετες και όχι απαραίτητα πεπερασμένου βαθμού. Σε αυτήν την περίπτωση παίζει καθοριστικό ρόλο η τοπολογία της ομάδας Galois, αφού στη μία πλευρά της αντιστοιχίας εμφανίζονται τώρα οι κλειστές υποομάδες της ομάδας Galois. Και εδώ η αντιστοιχία Galois επεκτείνεται σε μία ανταλλοίωτη ισοδυναμία κατάλληλων κατηγοριών. |
| author2 |
Καραζέρης, Παναγής |
| author_facet |
Καραζέρης, Παναγής Καραβασίλη, Αικατερίνη |
| format |
Thesis |
| author |
Καραβασίλη, Αικατερίνη |
| author_sort |
Καραβασίλη, Αικατερίνη |
| title |
Κατηγορική θεωρία Galois |
| title_short |
Κατηγορική θεωρία Galois |
| title_full |
Κατηγορική θεωρία Galois |
| title_fullStr |
Κατηγορική θεωρία Galois |
| title_full_unstemmed |
Κατηγορική θεωρία Galois |
| title_sort |
κατηγορική θεωρία galois |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://hdl.handle.net/10889/9489 |
| work_keys_str_mv |
AT karabasilēaikaterinē katēgorikētheōriagalois AT karabasilēaikaterinē categoricalgaloistheory |
| _version_ |
1771297335771398144 |
