Χρόνος αναμονής για εμφάνιση ροών σε δυαδικές ακολουθίες
Θεωρούμε μια ακολουθία αποτελεσμάτων δυαδικών πειραμάτων διατεταγμένων σε γραμμή. Συγκεκριμένα, η ακολουθία αποτελείται από ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Bernoulli, Χ_1,Χ_2,…,Χ_n,… (n>0), κάθε μια από τις οποίες έχει δύο δυνατά αποτελέσματα, επιτυχία (S ή 1) ή αποτυχία (F ή 0). Ροή επιτυχιών είν...
| Κύριος συγγραφέας: | |
|---|---|
| Άλλοι συγγραφείς: | |
| Μορφή: | Thesis |
| Γλώσσα: | Greek |
| Έκδοση: |
2016
|
| Θέματα: | |
| Διαθέσιμο Online: | http://hdl.handle.net/10889/9616 |
| id |
nemertes-10889-9616 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| institution |
UPatras |
| collection |
Nemertes |
| language |
Greek |
| topic |
Δοκιμές Bernoulli Ροές επιτυχιών μήκους k Χρόνος αναμονής Μαρκοβιανή αλυσίδα Bernoulli trials Success runs of length k Waiting time Markov chain 519.84 |
| spellingShingle |
Δοκιμές Bernoulli Ροές επιτυχιών μήκους k Χρόνος αναμονής Μαρκοβιανή αλυσίδα Bernoulli trials Success runs of length k Waiting time Markov chain 519.84 Μενύχτα, Δήμητρα Χρόνος αναμονής για εμφάνιση ροών σε δυαδικές ακολουθίες |
| description |
Θεωρούμε μια ακολουθία αποτελεσμάτων δυαδικών πειραμάτων διατεταγμένων σε γραμμή. Συγκεκριμένα, η ακολουθία αποτελείται από ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Bernoulli, Χ_1,Χ_2,…,Χ_n,… (n>0), κάθε μια από τις οποίες έχει δύο δυνατά αποτελέσματα, επιτυχία (S ή 1) ή αποτυχία (F ή 0). Ροή επιτυχιών είναι μια ακολουθία από συνεχόμενες επιτυχίες των οποίων προηγείται και έπεται μια αποτυχία ή τίποτε, στην περίπτωση που η ροή είναι στην αρχή ή στο τέλος της ακολουθίας.
Η παρούσα εργασία αποσκοπεί στην παρουσίαση αποτελεσμάτων που αφορούν στη μελέτη της τυχαίας μεταβλητής Τ_k, που παριστάνει τον χρόνο αναμονής (αριθμό δυαδικών πειραμάτων) για την πρώτη εμφάνιση ροής επιτυχιών μήκους k. Αρχικά, αναπτύσσονται μέθοδοι που έχουν χρησιμοποιηθεί για την εύρεση της συνάρτησης πιθανότητας της μελετούμενης τυχαίας μεταβλητής, μέσω συνδυαστικών μεθόδων, με εκφράσεις μέσω αθροισμάτων διωνυμικών και πολυωνυμικών συντελεστών και αναδρομικών σχέσεων. Σημαντική είναι η συνεισφορά της τυχαίας μεταβλητής N_(n,k), που παριστάνει τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους k σε n δυαδικά πειράματα. Μελετάται η πιθανογεννήτρια συνάρτηση και παρουσιάζονται εκφράσεις για τη ροπογεννήτρια, τη μέση τιμή και τη διασπορά της τυχαίας μεταβλητής T_k.
Στη συνέχεια, μελετάται η τυχαία μεταβλητή T_(r,k), η οποία παριστάνει τον χρόνο αναμονής έως ότου εμφανιστούν r ροές επιτυχιών μήκους k. Ακριβείς εκφράσεις αποδεικνύονται για τον προσδιορισμό της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής T_(r,k). Η συνάρτηση πιθανότητας της T_(r,k) προσδιορίζεται επίσης, για ακολουθία που προκύπτει από το σχήμα δειγματοληψίας Polya – Eggenberger. Επίσης, μελετάται η κατανομή του χρόνου αναμονής για την πρώτη ( ή r- οστή) εμφάνιση ροής επιτυχιών με τη μέθοδο εμβάπτισης μιας τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα, για ανεξάρτητες (όχι κατ΄ ανάγκη ισόνομες) δοκιμές Bernoulli. Η μελέτη επεκτείνεται, προκειμένου να δοθούν εκφράσεις για την κατανομή και τη πιθανογεννήτρια του χρόνου αναμονής, στην περίπτωση ομογενούς Μαρκοβιανής αλυσίδας. Η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής T_k χρησιμοποιείται για την μελέτη ενός συνεχόμενου-k-από-τα-n:F συστήματος αποτυχίας. Συγκεκριμένα, ενός συστήματος, το οποίο αποτυγχάνει αν και μόνο αν εμφανιστούν τουλάχιστον k συνεχόμενες αποτυχίες. Τέλος, γίνεται σύνδεση της αξιοπιστίας m-συνεχόμενων-k-από-τα-n συστημάτων αποτυχίας με τις T_(m,k) και N_(n,k). Αριθμητικά αποτελέσματα διευκρινίζουν περαιτέρω την εφαρμογή των μεθόδων. |
| author2 |
Μακρή, Ευφροσύνη |
| author_facet |
Μακρή, Ευφροσύνη Μενύχτα, Δήμητρα |
| format |
Thesis |
| author |
Μενύχτα, Δήμητρα |
| author_sort |
Μενύχτα, Δήμητρα |
| title |
Χρόνος αναμονής για εμφάνιση ροών σε δυαδικές ακολουθίες |
| title_short |
Χρόνος αναμονής για εμφάνιση ροών σε δυαδικές ακολουθίες |
| title_full |
Χρόνος αναμονής για εμφάνιση ροών σε δυαδικές ακολουθίες |
| title_fullStr |
Χρόνος αναμονής για εμφάνιση ροών σε δυαδικές ακολουθίες |
| title_full_unstemmed |
Χρόνος αναμονής για εμφάνιση ροών σε δυαδικές ακολουθίες |
| title_sort |
χρόνος αναμονής για εμφάνιση ροών σε δυαδικές ακολουθίες |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://hdl.handle.net/10889/9616 |
| work_keys_str_mv |
AT menychtadēmētra chronosanamonēsgiaemphanisēroōnsedyadikesakolouthies AT menychtadēmētra waitingtimefortheoccurrenceofsuccessrunsinbinarysequences |
| _version_ |
1771297353472409600 |
| spelling |
nemertes-10889-96162022-09-05T20:48:43Z Χρόνος αναμονής για εμφάνιση ροών σε δυαδικές ακολουθίες Waiting time for the occurrence of success runs in binary sequences Μενύχτα, Δήμητρα Μακρή, Ευφροσύνη Μακρή, Ευφροσύνη Πιπερίγκου, Βιολέττα Τσάντας, Νικόλαος Menychta, Dimitra Δοκιμές Bernoulli Ροές επιτυχιών μήκους k Χρόνος αναμονής Μαρκοβιανή αλυσίδα Bernoulli trials Success runs of length k Waiting time Markov chain 519.84 Θεωρούμε μια ακολουθία αποτελεσμάτων δυαδικών πειραμάτων διατεταγμένων σε γραμμή. Συγκεκριμένα, η ακολουθία αποτελείται από ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Bernoulli, Χ_1,Χ_2,…,Χ_n,… (n>0), κάθε μια από τις οποίες έχει δύο δυνατά αποτελέσματα, επιτυχία (S ή 1) ή αποτυχία (F ή 0). Ροή επιτυχιών είναι μια ακολουθία από συνεχόμενες επιτυχίες των οποίων προηγείται και έπεται μια αποτυχία ή τίποτε, στην περίπτωση που η ροή είναι στην αρχή ή στο τέλος της ακολουθίας. Η παρούσα εργασία αποσκοπεί στην παρουσίαση αποτελεσμάτων που αφορούν στη μελέτη της τυχαίας μεταβλητής Τ_k, που παριστάνει τον χρόνο αναμονής (αριθμό δυαδικών πειραμάτων) για την πρώτη εμφάνιση ροής επιτυχιών μήκους k. Αρχικά, αναπτύσσονται μέθοδοι που έχουν χρησιμοποιηθεί για την εύρεση της συνάρτησης πιθανότητας της μελετούμενης τυχαίας μεταβλητής, μέσω συνδυαστικών μεθόδων, με εκφράσεις μέσω αθροισμάτων διωνυμικών και πολυωνυμικών συντελεστών και αναδρομικών σχέσεων. Σημαντική είναι η συνεισφορά της τυχαίας μεταβλητής N_(n,k), που παριστάνει τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους k σε n δυαδικά πειράματα. Μελετάται η πιθανογεννήτρια συνάρτηση και παρουσιάζονται εκφράσεις για τη ροπογεννήτρια, τη μέση τιμή και τη διασπορά της τυχαίας μεταβλητής T_k. Στη συνέχεια, μελετάται η τυχαία μεταβλητή T_(r,k), η οποία παριστάνει τον χρόνο αναμονής έως ότου εμφανιστούν r ροές επιτυχιών μήκους k. Ακριβείς εκφράσεις αποδεικνύονται για τον προσδιορισμό της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής T_(r,k). Η συνάρτηση πιθανότητας της T_(r,k) προσδιορίζεται επίσης, για ακολουθία που προκύπτει από το σχήμα δειγματοληψίας Polya – Eggenberger. Επίσης, μελετάται η κατανομή του χρόνου αναμονής για την πρώτη ( ή r- οστή) εμφάνιση ροής επιτυχιών με τη μέθοδο εμβάπτισης μιας τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα, για ανεξάρτητες (όχι κατ΄ ανάγκη ισόνομες) δοκιμές Bernoulli. Η μελέτη επεκτείνεται, προκειμένου να δοθούν εκφράσεις για την κατανομή και τη πιθανογεννήτρια του χρόνου αναμονής, στην περίπτωση ομογενούς Μαρκοβιανής αλυσίδας. Η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής T_k χρησιμοποιείται για την μελέτη ενός συνεχόμενου-k-από-τα-n:F συστήματος αποτυχίας. Συγκεκριμένα, ενός συστήματος, το οποίο αποτυγχάνει αν και μόνο αν εμφανιστούν τουλάχιστον k συνεχόμενες αποτυχίες. Τέλος, γίνεται σύνδεση της αξιοπιστίας m-συνεχόμενων-k-από-τα-n συστημάτων αποτυχίας με τις T_(m,k) και N_(n,k). Αριθμητικά αποτελέσματα διευκρινίζουν περαιτέρω την εφαρμογή των μεθόδων. Consider a sequence of two state (success – failure) trials with outcomes arranged on a line. Specifically, the sequence of trials, X_1,X_2,…,X_n,…(n>0), are considered independent and identically distributed with two possible outcomes, either a success (S or 1) or a failure (F or 0). A success run is a sequence of consecutive successes preceded and followed by a failure or by nothing, in case that the run is at the beginning or at the end of the sequence. This work is focused on the study of the random variable T_k, which represents the waiting time (number of binary trials) until a sequence of k consecutive successes are observed for the first time. Methods that have been used to obtain the distribution of the random variable are developed, i.e. combinatorial analysis, giving expressions via sums of binomial and multinomial coefficients and recursive schemes. The study of the random variables N_(n,k) and L_n, representing the number of success runs of length k and the length of the longest success run in a sequence of n binary trials, respectively, is also important for this study. Then the probability generating function, the mean, the variance and the moments of T_k are derived. Next we concentrate on the study of the random variable T_(r,k), which represents the waiting time till appearance of the rth success run of length k. Exact formulae are proved for the determination of the distribution of T_(r,k). The probability mass function of T_(r,k) is also determined for sequences with outcomes from a Polya – Eggenberger sampling scheme. The distribution of the waiting time for the first (or rth) occurrence of a success run via the Markov chain imbedding technique, for independent and identically (or non identically) Bernoulli trials is studied. Also, formulae for the distribution, probability generating function and moments of the waiting time are presented, in the case of a homogeneous Markov chain. The distribution of T_k is used to study a consecutive-k-out-of-n:F system; i.e. a system that fails if and only if k or more consecutive failures appear among its components. The distribution of T_(m,k) and N_(n,k) are used to study the reliability of m-consecutive-k-out-of-n:F systems, i.e. a system that fails if and only if at least m failure runs of length at least k appears in the sequence of the n components. Numerical results illustrate further the application of the methods. 2016-09-21T09:13:26Z 2016-09-21T09:13:26Z 2016-02-22 Thesis http://hdl.handle.net/10889/9616 gr 0 application/pdf |
