| Περίληψη: | Η σύγκλιση ακολουθιών αποτελεί μια από τις πιο σημαντικές έννοιες στην τοπολογία και ιδιαίτερα στις περιοχές αυτής που αφορούν την Ανάλυση. Ωστόσο, παρά το σπουδαίο τους ρόλο, αδυνατούν να περιγράψουν σημαντικές τοπολογικές ιδιότητες.
Σ’ αυτή τη διπλωματική εργασία καταδεικνύουμε την αδυναμία αυτή. Δίνουμε το χαρακτηρισμό της κατηγορίας των τοπολογικών χώρων που μπορεί να καθοριστεί πλήρως από τη γνώση των συγκλινουσών ακολουθιών του και αποδεικνύουμε ότι αποτελούν πηλίκα μετρικών χώρων. Τα δίκτυα και φίλτρα ορίζονται ακολούθως, με σκοπό να ξεπεραστούν οι ανεπάρκειες των ακολουθιών. Δείχνουμε πώς επεκτείνουν την έννοια της σύγκλισης και επιτρέπουν την γενίκευση ορισμένων από τα θεωρήματα που αληθεύουν σε μετρικούς χώρους, σε αυθαίρετους τοπολογικούς χώρους. Αναφέρουμε το βασικό αποτέλεσμα του J. Kelley για τις κλάσεις σύγκλισης δικτύων. Στη συνέχεια δίνουμε τον ορισμό της ασυμπτωτικής (φυσικής) πυκνότητας ενός υποσυνόλου των φυσικών και αποδεικνύουμε τις βασικές ιδιότητές της. Δείχνουμε πώς με τη βοήθεια αυτής, η σύγκλιση μιας ακολουθίας μπορεί να επεκταθεί στην στατιστική σύγκλιση ακολουθίας στους πραγματικούς, σε μετρικούς και γενικότερα τοπολογικούς χώρους. Τέλος ορίζουμε και μελετάμε την έννοια της I-σύγκλισης για ακολουθίες και δίκτυα, όπου I ένα ιδεώδες.
|
|---|
