Κλασικές και στατιστικές συγκλίσεις σε τοπολογικούς χώρους
Η σύγκλιση ακολουθιών αποτελεί μια από τις πιο σημαντικές έννοιες στην τοπολογία και ιδιαίτερα στις περιοχές αυτής που αφορούν την Ανάλυση. Ωστόσο, παρά το σπουδαίο τους ρόλο, αδυνατούν να περιγράψουν σημαντικές τοπολογικές ιδιότητες. Σ’ αυτή τη διπλωματική εργασία καταδεικνύουμε την αδυναμία αυτή...
| Κύριος συγγραφέας: | |
|---|---|
| Άλλοι συγγραφείς: | |
| Μορφή: | Thesis |
| Γλώσσα: | Greek |
| Έκδοση: |
2016
|
| Θέματα: | |
| Διαθέσιμο Online: | http://hdl.handle.net/10889/9662 |
| id |
nemertes-10889-9662 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nemertes-10889-96622022-09-05T20:33:43Z Κλασικές και στατιστικές συγκλίσεις σε τοπολογικούς χώρους Classical and statistical convergences in topological spaces Πρίνος, Γεώργιος Γεωργίου, Δημήτριος Γεωργίου, Δημήτριος Ελευθεράκης, Γεώργιος Ζαφειρίδου, Σοφία Prinos, George Ακολουθίες Δίκτυο Φίλτρα s-Σύγκλιση Sequences Net Filters s-Convergence 515.24 Η σύγκλιση ακολουθιών αποτελεί μια από τις πιο σημαντικές έννοιες στην τοπολογία και ιδιαίτερα στις περιοχές αυτής που αφορούν την Ανάλυση. Ωστόσο, παρά το σπουδαίο τους ρόλο, αδυνατούν να περιγράψουν σημαντικές τοπολογικές ιδιότητες. Σ’ αυτή τη διπλωματική εργασία καταδεικνύουμε την αδυναμία αυτή. Δίνουμε το χαρακτηρισμό της κατηγορίας των τοπολογικών χώρων που μπορεί να καθοριστεί πλήρως από τη γνώση των συγκλινουσών ακολουθιών του και αποδεικνύουμε ότι αποτελούν πηλίκα μετρικών χώρων. Τα δίκτυα και φίλτρα ορίζονται ακολούθως, με σκοπό να ξεπεραστούν οι ανεπάρκειες των ακολουθιών. Δείχνουμε πώς επεκτείνουν την έννοια της σύγκλισης και επιτρέπουν την γενίκευση ορισμένων από τα θεωρήματα που αληθεύουν σε μετρικούς χώρους, σε αυθαίρετους τοπολογικούς χώρους. Αναφέρουμε το βασικό αποτέλεσμα του J. Kelley για τις κλάσεις σύγκλισης δικτύων. Στη συνέχεια δίνουμε τον ορισμό της ασυμπτωτικής (φυσικής) πυκνότητας ενός υποσυνόλου των φυσικών και αποδεικνύουμε τις βασικές ιδιότητές της. Δείχνουμε πώς με τη βοήθεια αυτής, η σύγκλιση μιας ακολουθίας μπορεί να επεκταθεί στην στατιστική σύγκλιση ακολουθίας στους πραγματικούς, σε μετρικούς και γενικότερα τοπολογικούς χώρους. Τέλος ορίζουμε και μελετάμε την έννοια της I-σύγκλισης για ακολουθίες και δίκτυα, όπου I ένα ιδεώδες. The convergence of sequences is one of the most significant concepts in topology, particularly in areas which relate to Analysis. Despite their important role, they are unable to describe major topological properties. In this master thesis we demonstrate this weakness. We characterize the class of topological spaces which can be specified completely by the knowledge of convergent sequences and prove that they are quotients of metric spaces. Nets and filters are defined as follows in order to overcome the shortcomings of sequences. We show how they extend the notion of convergence and allow the generalization of some of the theorems which are true for metric spaces, to arbitrary topological spaces. We report the main result of J. Kelley for convergence classes of nets. Then we define the asymptotic (natural) density of a subset of naturals and prove their basic properties. We show how to this assistance, the convergence of a sequence can be extended to statistical convergence of a sequence in reals, in metric and in general topological spaces. Finally we define and study the concept of I-convergence for sequences and nets, where I is an ideal. 2016-10-17T07:04:04Z 2016-10-17T07:04:04Z 2016-06-14 Thesis http://hdl.handle.net/10889/9662 gr 12 application/pdf |
| institution |
UPatras |
| collection |
Nemertes |
| language |
Greek |
| topic |
Ακολουθίες Δίκτυο Φίλτρα s-Σύγκλιση Sequences Net Filters s-Convergence 515.24 |
| spellingShingle |
Ακολουθίες Δίκτυο Φίλτρα s-Σύγκλιση Sequences Net Filters s-Convergence 515.24 Πρίνος, Γεώργιος Κλασικές και στατιστικές συγκλίσεις σε τοπολογικούς χώρους |
| description |
Η σύγκλιση ακολουθιών αποτελεί μια από τις πιο σημαντικές έννοιες στην τοπολογία και ιδιαίτερα στις περιοχές αυτής που αφορούν την Ανάλυση. Ωστόσο, παρά το σπουδαίο τους ρόλο, αδυνατούν να περιγράψουν σημαντικές τοπολογικές ιδιότητες.
Σ’ αυτή τη διπλωματική εργασία καταδεικνύουμε την αδυναμία αυτή. Δίνουμε το χαρακτηρισμό της κατηγορίας των τοπολογικών χώρων που μπορεί να καθοριστεί πλήρως από τη γνώση των συγκλινουσών ακολουθιών του και αποδεικνύουμε ότι αποτελούν πηλίκα μετρικών χώρων. Τα δίκτυα και φίλτρα ορίζονται ακολούθως, με σκοπό να ξεπεραστούν οι ανεπάρκειες των ακολουθιών. Δείχνουμε πώς επεκτείνουν την έννοια της σύγκλισης και επιτρέπουν την γενίκευση ορισμένων από τα θεωρήματα που αληθεύουν σε μετρικούς χώρους, σε αυθαίρετους τοπολογικούς χώρους. Αναφέρουμε το βασικό αποτέλεσμα του J. Kelley για τις κλάσεις σύγκλισης δικτύων. Στη συνέχεια δίνουμε τον ορισμό της ασυμπτωτικής (φυσικής) πυκνότητας ενός υποσυνόλου των φυσικών και αποδεικνύουμε τις βασικές ιδιότητές της. Δείχνουμε πώς με τη βοήθεια αυτής, η σύγκλιση μιας ακολουθίας μπορεί να επεκταθεί στην στατιστική σύγκλιση ακολουθίας στους πραγματικούς, σε μετρικούς και γενικότερα τοπολογικούς χώρους. Τέλος ορίζουμε και μελετάμε την έννοια της I-σύγκλισης για ακολουθίες και δίκτυα, όπου I ένα ιδεώδες. |
| author2 |
Γεωργίου, Δημήτριος |
| author_facet |
Γεωργίου, Δημήτριος Πρίνος, Γεώργιος |
| format |
Thesis |
| author |
Πρίνος, Γεώργιος |
| author_sort |
Πρίνος, Γεώργιος |
| title |
Κλασικές και στατιστικές συγκλίσεις σε τοπολογικούς χώρους |
| title_short |
Κλασικές και στατιστικές συγκλίσεις σε τοπολογικούς χώρους |
| title_full |
Κλασικές και στατιστικές συγκλίσεις σε τοπολογικούς χώρους |
| title_fullStr |
Κλασικές και στατιστικές συγκλίσεις σε τοπολογικούς χώρους |
| title_full_unstemmed |
Κλασικές και στατιστικές συγκλίσεις σε τοπολογικούς χώρους |
| title_sort |
κλασικές και στατιστικές συγκλίσεις σε τοπολογικούς χώρους |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://hdl.handle.net/10889/9662 |
| work_keys_str_mv |
AT prinosgeōrgios klasikeskaistatistikessynkliseissetopologikouschōrous AT prinosgeōrgios classicalandstatisticalconvergencesintopologicalspaces |
| _version_ |
1771297273609715712 |
