| Περίληψη: | Στην παρούσα εργασία, θα περιγράψουμε την θεωρία των twistors, εισάγοντας και μελετώντας τον μαθηματικό φορμαλισμό των 2-spinors και twistors από την σκοπιά της αλγεβρικής και της διαφορικής γεωμετρίας σε γενικευμένες μιγαδικές πολλαπλότητες στην συνήθη, αλλά και στην υπερσυμμετρική περίπτωση. Στη συνέχεια, θα μελετήσουμε τις φυσικές εφαρμογές της θεωρίας των twistors, εφαρμόζοντας και τροποποιώντας κατάλληλα κάθε φορά την ως άνω μαθηματική περιγραφή στην κβαντική θεωρία πεδίου και την γενική σχετικότητα, διερευνώντας τις περιγραφές που προσφέρονται μέσω της εφαρμογής της θεωρίας twistor και αφορούν τα θεμελιώδη προβλήματα που ανακύπτουν στις θεωρίες αυτές όταν επιχειρείται ο συνδυασμός αυτών για την ανάπτυξη μιας θεωρίας κβαντικής βαρύτητας, στο πλαίσιο του φορμαλισμού των twistors στα MHV-πλάτη σκέδασης.
Έτσι, στο πρώτο κεφάλαιο θα μελετήσουμε την διαφορική τοπολογία και γεωμετρία των μιγαδικών πολλαπλοτήτων και των νηματικών δεσμών, συμπεριλαμβανομένων και των εννοιών της σύνδεσης και καμπυλότητας τόσο των πολλαπλοτήτων όσο και των νηματικών δεσμών.
Στη συνέχεια, στο δεύτερο κεφάλαιο, θα εισάγουμε αλγεβρικές γεωμετρικές θεωρήσεις στο μαθηματικό πλαίσιο του πρώτου κεφαλαίου, μελετώντας τις χαρακτηριστικές κλάσεις στα πλαίσια των μιγαδικών πολλαπλοτήτων, καθώς επίσης και τις έννοιες των sheaves και της συνομολογίας, καταλήγοντας, σε συνδυασμό με τις άλγεβρες Clifford, στις συνθήκες ύπαρξης δομών spin σε πολλαπλότητες, Η μελέτη των δομών αυτών που ακολουθεί, σε συνδυασμό με τα προαναφερθέντα θέματα συνιστούν το μαθηματικό πλαίσιο εντός των οποίων θεμελιώνονται και περιγράφονται τα μαθηματικά αντικείμενα των spinors και twistors.
Στο τρίτο κεφάλαιο του πρώτου μέρους που αφορά την περιγραφή του μαθηματικού πλαισίου της θεωρίας twistor, μελετούμε, εντός του στοιχειοθετημένου από τα δύο προηγούμενα κεφάλαια μαθηματικού πλαισίου, τους τελεστές Dirac και twistor, από τους οποίους προκύπτουν άμεσα τα μαθηματικά αντικείμενα των spinors και twistors.
Στο τέταρτο κεφάλαιο, που αποτελεί το τελευταίο κεφάλαιο του πρώτου μέρους, αναφερόμαστε στα βασικά χαρακτηριστικά που αφορούν τις θεωρίες πεδίων βαθμίδας, τις τοπολογικές θεωρίες πεδίων, τις σύμμορφες θεωρίες και την υπερσυμμετρική επέκταση αυτών, εισάγοντας τον φορμαλισμό που θα χρησιμοποιήσουμε στην συνέχεια για την περιγραφή τους στα πλαίσια της θεωρίας twistor στο πέμπτο κεφάλαιο. Ακόμα, εισάγουμε τα βασικά στοιχεία της γενικής σχετικότητας και της σύμμορφης βαρύτητας, εκπεφρασμένες στον φορμαλισμό των 2-spinors, ο οποίος είναι και ο φυσικός φορμαλισμός στην θεωρία twistor.
Στο πέμπτο κεφάλαιο, το οποίο είναι το πρώτο εκ των δύο κεφαλαίων του δεύτερου μέρους που αφορά την μελέτη της γεωμετρίας twistor και ορισμένων χαρακτηριστικών εφαρμογών της θεωρίας twistor στα πλαίσια της θεωρίας πεδίων και της βαρύτητας, μελετάμε εκτεταμένα την γεωμετρία twistor και τον μετασχηματισμό Penrose-Ward που σχετίζει την γεωμετρική περιγραφή των χώρων twistor με τις θεωρίες πεδίων. Η μελέτη της γεωμετρίας twistor, των αντιστοιχιών twistor και των αντίστοιχων μετασχηματισμών Penrose-Ward πραγματοποιείται σε αρκετές περιπτώσεις, στις οποίες συμπεριλαμβάνονται οι ambitwistors, καθώς επίσης και οι υπερσυμμετρικές επεκτάσεις των χώρων twistor και ambitwistor και οι διαστατικές ελαττώσεις αυτών των περιπτώσεων, οι οποίες σχετίζονται με τις φυσικές περιγραφές των υπερσυμμετρικών θεωριών Yang-Mils, καθώς και μονοπόλων και instantons στα πλαίσια των θεωριών πεδίων βαθμίδας, αλλά και με τοπολογικές θεωρίες πεδίων (Chern-Simons, BF). Όσον αφορά την μελέτη των instantons, στα πλαίσια της γεωμετρίας twistor μελετάται και η ADHM κατασκευή στο πλαίσιο των D-branes.
Τέλος, το έκτο και τελευταίο κεφάλαιο, αφορά την συστηματική γενίκευση της θεωρίας twistor που αναπτύχθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, και η εφαρμογή της στο πλαίσιο της περιγραφής της βαρύτητας. Έτσι, αρχικά μελετάται η επέκταση της θεωρίας twistor για την περιγραφή καμπυλωμένων χειραλικών (αντι-)αυτοδυικών χωροχρόνων και η αντιστοιχία τους με καμπυλωμένους χώρους twistor, η οποία συνοψίζεται στην λεγόμενη κατασκευή του “μη-γραμμικού graviton”. Στην συνέχεια, αφού αναφερθούμε στο πρόβλημα της twistorial περιγραφής γενικότερων (μη-χειραλικών/μη-(αντι-)αυτοδυϊκών) χωρόχρονων (“googly” πρόβλημα), μελετάμε μια πρόσφατη πρόταση για την άρση αυτού του προβλήματος, η οποία αναφέρεται ως “palatial” θεώρηση της θεωρίας twistor, και αφορά στην ενσωμάτωση εννοιών της μη-μεταθετικής γεωμετρίας στην θεωρία twistor μέσω της χρήσης μη-μεταθετικών αλγεβρών twistor στα θεμέλια της συνήθους γεωμετρίας twistor, αίροντας ορισμένα εμπόδια που συνιστούν το googly πρόβλημα και στην πιθανή πλήρη twistorial περιγραφή της βαρύτητας σε κβαντικό επίπεδο, αλλά εισάγοντας ταυτόχρονα την ανάγκη περαιτέρω μελέτης και επέκτασης ορισμένων εννοιών, στις οποίες στηρίζεται η θεώρηση αυτή. Στα πλαίσια αυτά, στην συνέχεια, συζητούμε το κατά πόσον είναι δυνατή η ύπαρξη μιας μη-μεταθετικής άλγεβρας twistor, και πώς μπορεί αυτή να καθοριστεί μέσω των τελεστών Yang-Baxter. Τέλος, ως μια χαρακτηριστική εφαρμογή της θεωρίας twistor στην βαρύτητα, μελετάμε την twistorial κατασκευή και περιγραφή των MHV (Maximally Helicity Violating) πλατών σκέδασης gravitons μέσω του twistorial MHV διαγραμματικού φορμαλισμού στα πλαίσια της σύμμορφης βαρύτητας, στοχεύοντας στην ανάλογη περιγραφή της βαρύτητας Einstein. Στην υποενότητα των τεχνικών ζητημάτων, συμπεριλαμβάνονται ορισμένες χρήσιμες τεχνικές της twistorial περιγραφής της θεωρίας Yang-Mills στα πλαίσια του MHV-φορμαλισμού, καθώς επίσης και την χρήση της θεωρίας γραφημάτων για την εξαγωγή του MHV-διαγραμματικού φορμαλισμού της βαρύτητας μέσω των κατάλληλων twistorial δράσεων.
|
|---|
