| Περίληψη: | Η παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή εντάσσεται στην περιοχή της Στατιστικής Θεωρίας Αποφάσεων και ειδικότερα στην (σημειακή) εκτίμηση των παραμέτρων μορφής, κλίμακας και θέσης στο μοντέλο της τριπαραμετρικής Γάμμα κατανομής ή αλλιώς Pearson Τύπου ΙΙΙ. Είναι μία κατανομή με θετική ασυμμετρία (λοξότητα), η οποία χρησιμοποιείται ευρέως και παίζει σημαντικό ρόλο στη θεωρία αξιοπιστίας καθώς και σε μελέτες διάρκειας ζωής και χρόνων αντίδρασης.
Αντικείμενο της μεταπτυχιακής διατριβής είναι η μελέτη του μοντέλου και των ιδιοτήτων του, καθώς και του προβλήματος εκτίμησης των παραμέτρων του μοντέλου της τριπαραμετρικής Γάμμα κατανομής, τις οποίες αναφέραμε προηγουμένως. Στο Κεφάλαιο 1, παρατίθενται κάποιοι βασικοί ορισμοί και θεωρήματα και παρουσιάζονται, για λόγους πληρότητας, ορισμένα σχετικά αποτελέσματα.
Στο Κεφάλαιο 2, παρατίθεται το μοντέλο της τριπαραμετρικής Γάμμα κατανομής, μελετώνται ιδιότητες σχετικές με τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και τις ροπές. Στη συνέχεια, αναφέρουμε τις επαρκείς και πλήρεις στατιστικές συναρτήσεις που προκύπτουν από ένα τυχαίο δείγμα παρατηρήσεων, το οποίο ακολουθεί την τριπαραμετρική Γάμμα κατανομή, υπολογίζοντας επιπλέον και την αμεροληψία αυτών των στατιστικών συναρτήσεων.
Στο Κεφάλαιο 3, μελετάμε διαφορετικές μεθόδους εκτίμησης των παραμέτρων της τριπαραμετρικής Γάμμα κατανομής. Συγκεκριμένα αναφερόμαστε στη Μέθοδο Μέγιστης Πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood Estimation), στη Μέθοδο Ροπών (Moment Estimation ) και στη Μέθοδο Τροποποιημένων Ροπών (Modified Moment Estimation). Ακόμη, υπολογίζουμε τον πίνακα διασπορών - συνδιασπορών των εκτιμητών μέγιστης πιθανοφάνειας, συγκρίνοντας τους εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας με τους εκτιμητές μεθόδου ροπών.
Στο Κεφάλαιο 4, μελετάμε τη Μέθοδο Πρόβλεψης - Διόρθωσης (Predict - Corrector Method), η οποία είναι μια διαφοροποιημένη Μέθοδος Μέγιστης Πιθανοφάνειας. Η μέθοδος αυτή υιοθετεί ένα αναπαραμετρικοποιημένο μοντέλο της τριπαραμετρικής Γάμμα κατανομής και ακολουθώντας ένα επαναληπτικό σχήμα εντοπίζει τους εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας. Στη συνέχεια, παραθέτουμε κάποια υπολογιστικά αποτελέσματα από τη βιβλιογραφία, μετά την εφαρμογή της μεθόδου.
Στο Κεφάλαιο 5, παρουσιάζουμε μια Μέθοδο Μέγιστης Πιθανοφάνειας, η οποία βασίζεται σε στατιστικές συναρτήσεις με κατανομή ανεξάρτητη των παραμέτρων θέσης και κλίμακας, γνωστή και ως Location and Scale Parameters Free Maximum Likelihood Method (LSPF). Ακολούθως, παραθέτουμε μια πρόσφατη μέθοδο εκτίμησης, τη λεγόμενη Location Parameter Free Maximum Likelihood Method (LPF), η οποία στηρίζεται σε στατιστικές συναρτήσεις με κατανομή ανεξάρτητη από την παράμετρο θέσης, και φαίνεται να είναι ισοδύναμη με τη Μέθοδο Μέγιστης Πιθανοφάνειας με βάση τη διάταξη, (Maximum Likelihood Method based on spacing).
|
|---|
