Αριθμητική Ανάλυση

• Κύριοι συγγραφείς: Πλεξουσάκης, Μιχάλης, Χατζηπαντελίδης, Παναγιώτης, Plexousakis, Michalis, Chatzipantelidis, Panagiotis
• Μορφή: 2
• Γλώσσα: Greek
• Έκδοση: 2023
• Θέματα: Άμεσες μέθοδοι; Επαναληπτικές μέθοδοι; Ανάλυση SVD; Ανάλυση QR; Ελάχιστα τετράγωνα; Μέθοδος των δυνάμεων; Μέθοδος Francis QR; Ανάλυση LU; Ανάλυση Cholesky; Μέθοδος του Newton; Μέθοδοι καθόδου; Μέθοδος απότομης καθόδου; Μέθοδος συζυγών κλίσεων; Υπόχωροι Krylov; Μονοβηματικές μέθοδοι; Μέθοδοι Runge-Kutta; Πολυβηματικές μέθοδοι; Μέθοδοι για άκαμπτες εξισώσεις; Direct methods; Iterative methods; SVD factorization; QR decomposition; Least squares; Power method; Francis QR step; LU decomposition; Cholesky decomposition; Newton’s method; Descent methods; Steepest descent; Conjugate gradient method; Krylov subspace methods; Single-step methods; Runge-Kutta methods; Multistep methods; Methods for stiff problems

Το βιβλίο αποτελείται από δύο μέρη. Στο Α΄ μέρος αναφέρουμε μερικές βασικές έννοιες από τη γραμμική άλγεβρα, καθώς αυτές αποτελούν τη βάση αυτών που θα εξετάσουμε. Μελετούμε την αριθμητική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με τετραγωνικό πίνακα χρησιμοποιώντας άμεσες μεθόδους, οι οποίες υπολογίζουν την ακριβή λύση σε ένα προκαθορισμένο αριθμό βημάτων, τον οποίο γνωρίζουμε εκ των προτέρων. Επίσης, μελετούμε επαναληπτικές μεθόδους, όπου κατασκευάζουμε μια ακολουθία διανυσμάτων, η οποία συγκλίνει στη λύση του γραμμικού συστήματος. Επιπλέον, εξετάζουμε γραμμικά συστήματα με μη τετραγωνικό πίνακα, τα οποία δεν έχουν λύση, όπου αναζητούμε διανύσματα που ελαχιστοποιούν μια κατάλληλη απόσταση. Στη συνέχεια ασχολούμαστε με το πρόβλημα εντοπισμού των ιδιοτιμών ενός πίνακα και εξετάζουμε μεθόδους για την επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων και συστημάτων. Στο Β΄ μέρος ασχολούμαστε με την αριθμητική επίλυση προβλημάτων αρχικών τιμών (Π.Α.Τ.) για συστήματα πρώτης τάξης συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Η πιο απλή αριθμητική μέθοδος για την επίλυση του προβλήματος αρχικών τιμών (Π.Α.Τ.) είναι η μέθοδος του Euler. Επίσης, θεωρούμε και άλλες μονοβηματικές μεθόδους, και γενικότερα τις μεθόδους Runge-Kutta. Επιπρόσθετα, μελετούμε τις γραμμικές πολυβηματικές μεθόδους. Η υλοποίησή τους είναι οικονομική και για αυτόν τον λόγο εμφανίστηκαν και εφαρμόστηκαν πριν την εμφάνιση των υπολογιστών. Μελετούμε την ευστάθεια, τη συνέπεια, την τάξη ακρίβειας και τη σύγκλιση αυτών των μεθόδων. Οι πεπλεγμένες μέθοδοι Runge-Kutta είναι πιο απαιτητικές στην υλοποίησή τους από τις άμεσες μεθόδους Runge-Kutta και από τις πολυβηματικές μεθόδους. Όμως, έχουν υψηλή τάξη ακρίβειας και εξαιρετικές ιδιότητες ευστάθειας. Ακόμα, θεωρούμε άκαμπτες γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Ορισμένες αριθμητικές μέθοδοι είναι ασταθείς και χρειάζονται μικρό σχετικό βήμα για να μπορέσουν να προσεγγίσουν την ακριβή λύση αυτών των προβλημάτων. Αυτή η ιδιότητα ευστάθειας, που σχετίζεται με την προσεγγιστική λύση μιας μεθόδου για ένα άκαμπτο πρόβλημα διαφορικών εξισώσεων, ονομάζεται απόλυτη ευστάθεια.