Αριθμητική Ανάλυση
Το βιβλίο αποτελείται από δύο μέρη. Στο Α΄ μέρος αναφέρουμε μερικές βασικές έννοιες από τη γραμμική άλγεβρα, καθώς αυτές αποτελούν τη βάση αυτών που θα εξετάσουμε. Μελετούμε την αριθμητική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με τετραγωνικό πίνακα χρησιμοποιώντας άμεσες μεθόδους, οι οποίες υπολογίζουν...
| Main Authors: | , , , |
|---|---|
| Format: | 2 |
| Language: | Greek |
| Published: |
2023
|
| Subjects: | |
| Online Access: | http://dx.doi.org/10.57713/kallipos-395 http://repository.kallipos.gr/handle/11419/11684 |
| id |
kallipos-11419-11684 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| institution |
Kallipos |
| collection |
DSpace |
| language |
Greek |
| topic |
Άμεσες μέθοδοι Επαναληπτικές μέθοδοι Ανάλυση SVD Ανάλυση QR Ελάχιστα τετράγωνα Μέθοδος των δυνάμεων Μέθοδος Francis QR Ανάλυση LU Ανάλυση Cholesky Μέθοδος του Newton Μέθοδοι καθόδου Μέθοδος απότομης καθόδου Μέθοδος συζυγών κλίσεων Υπόχωροι Krylov Μονοβηματικές μέθοδοι Μέθοδοι Runge-Kutta Πολυβηματικές μέθοδοι Μέθοδοι για άκαμπτες εξισώσεις Direct methods Iterative methods SVD factorization QR decomposition Least squares Power method Francis QR step LU decomposition Cholesky decomposition Newton’s method Descent methods Steepest descent Conjugate gradient method Krylov subspace methods Single-step methods Runge-Kutta methods Multistep methods Methods for stiff problems |
| spellingShingle |
Άμεσες μέθοδοι Επαναληπτικές μέθοδοι Ανάλυση SVD Ανάλυση QR Ελάχιστα τετράγωνα Μέθοδος των δυνάμεων Μέθοδος Francis QR Ανάλυση LU Ανάλυση Cholesky Μέθοδος του Newton Μέθοδοι καθόδου Μέθοδος απότομης καθόδου Μέθοδος συζυγών κλίσεων Υπόχωροι Krylov Μονοβηματικές μέθοδοι Μέθοδοι Runge-Kutta Πολυβηματικές μέθοδοι Μέθοδοι για άκαμπτες εξισώσεις Direct methods Iterative methods SVD factorization QR decomposition Least squares Power method Francis QR step LU decomposition Cholesky decomposition Newton’s method Descent methods Steepest descent Conjugate gradient method Krylov subspace methods Single-step methods Runge-Kutta methods Multistep methods Methods for stiff problems Πλεξουσάκης, Μιχάλης Χατζηπαντελίδης, Παναγιώτης Plexousakis, Michalis Chatzipantelidis, Panagiotis Αριθμητική Ανάλυση |
| description |
Το βιβλίο αποτελείται από δύο μέρη. Στο Α΄ μέρος αναφέρουμε μερικές βασικές έννοιες από τη γραμμική άλγεβρα, καθώς αυτές αποτελούν τη βάση αυτών που θα εξετάσουμε. Μελετούμε την αριθμητική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με τετραγωνικό πίνακα χρησιμοποιώντας άμεσες μεθόδους, οι οποίες υπολογίζουν την ακριβή λύση σε ένα προκαθορισμένο αριθμό βημάτων, τον οποίο γνωρίζουμε εκ των προτέρων. Επίσης, μελετούμε επαναληπτικές μεθόδους, όπου κατασκευάζουμε μια ακολουθία διανυσμάτων, η οποία συγκλίνει στη λύση του γραμμικού συστήματος. Επιπλέον, εξετάζουμε γραμμικά συστήματα με μη τετραγωνικό πίνακα, τα οποία δεν έχουν λύση, όπου αναζητούμε διανύσματα που ελαχιστοποιούν μια κατάλληλη απόσταση. Στη συνέχεια ασχολούμαστε με το πρόβλημα εντοπισμού των ιδιοτιμών ενός πίνακα και εξετάζουμε μεθόδους για την επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων και συστημάτων.
Στο Β΄ μέρος ασχολούμαστε με την αριθμητική επίλυση προβλημάτων αρχικών τιμών (Π.Α.Τ.) για συστήματα πρώτης τάξης συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Η πιο απλή αριθμητική μέθοδος για την επίλυση του προβλήματος αρχικών τιμών (Π.Α.Τ.) είναι η μέθοδος του Euler. Επίσης, θεωρούμε και άλλες μονοβηματικές μεθόδους, και γενικότερα τις μεθόδους Runge-Kutta. Επιπρόσθετα, μελετούμε τις γραμμικές πολυβηματικές μεθόδους. Η υλοποίησή τους είναι οικονομική και για αυτόν τον λόγο εμφανίστηκαν και εφαρμόστηκαν πριν την εμφάνιση των υπολογιστών. Μελετούμε την ευστάθεια, τη συνέπεια, την τάξη ακρίβειας και τη σύγκλιση αυτών των μεθόδων. Οι πεπλεγμένες μέθοδοι Runge-Kutta είναι πιο απαιτητικές στην υλοποίησή τους από τις άμεσες μεθόδους Runge-Kutta και από τις πολυβηματικές μεθόδους. Όμως, έχουν υψηλή τάξη ακρίβειας και εξαιρετικές ιδιότητες ευστάθειας. Ακόμα, θεωρούμε άκαμπτες γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Ορισμένες αριθμητικές μέθοδοι είναι ασταθείς και χρειάζονται μικρό σχετικό βήμα για να μπορέσουν να προσεγγίσουν την ακριβή λύση αυτών των προβλημάτων. Αυτή η ιδιότητα ευστάθειας, που σχετίζεται με την προσεγγιστική λύση μιας μεθόδου για ένα άκαμπτο πρόβλημα διαφορικών εξισώσεων, ονομάζεται απόλυτη ευστάθεια. |
| format |
2 |
| author |
Πλεξουσάκης, Μιχάλης Χατζηπαντελίδης, Παναγιώτης Plexousakis, Michalis Chatzipantelidis, Panagiotis |
| author_facet |
Πλεξουσάκης, Μιχάλης Χατζηπαντελίδης, Παναγιώτης Plexousakis, Michalis Chatzipantelidis, Panagiotis |
| author_sort |
Πλεξουσάκης, Μιχάλης |
| title |
Αριθμητική Ανάλυση |
| title_short |
Αριθμητική Ανάλυση |
| title_full |
Αριθμητική Ανάλυση |
| title_fullStr |
Αριθμητική Ανάλυση |
| title_full_unstemmed |
Αριθμητική Ανάλυση |
| title_sort |
αριθμητική ανάλυση |
| publishDate |
2023 |
| url |
http://dx.doi.org/10.57713/kallipos-395 http://repository.kallipos.gr/handle/11419/11684 |
| work_keys_str_mv |
AT plexousakēsmichalēs arithmētikēanalysē AT chatzēpantelidēspanagiōtēs arithmētikēanalysē AT plexousakismichalis arithmētikēanalysē AT chatzipantelidispanagiotis arithmētikēanalysē AT plexousakēsmichalēs numericalanalysis AT chatzēpantelidēspanagiōtēs numericalanalysis AT plexousakismichalis numericalanalysis AT chatzipantelidispanagiotis numericalanalysis |
| _version_ |
1799946622762745856 |
| spelling |
kallipos-11419-116842024-01-05T09:55:47Z Αριθμητική Ανάλυση Numerical Analysis Πλεξουσάκης, Μιχάλης Χατζηπαντελίδης, Παναγιώτης Plexousakis, Michalis Chatzipantelidis, Panagiotis Άμεσες μέθοδοι Επαναληπτικές μέθοδοι Ανάλυση SVD Ανάλυση QR Ελάχιστα τετράγωνα Μέθοδος των δυνάμεων Μέθοδος Francis QR Ανάλυση LU Ανάλυση Cholesky Μέθοδος του Newton Μέθοδοι καθόδου Μέθοδος απότομης καθόδου Μέθοδος συζυγών κλίσεων Υπόχωροι Krylov Μονοβηματικές μέθοδοι Μέθοδοι Runge-Kutta Πολυβηματικές μέθοδοι Μέθοδοι για άκαμπτες εξισώσεις Direct methods Iterative methods SVD factorization QR decomposition Least squares Power method Francis QR step LU decomposition Cholesky decomposition Newton’s method Descent methods Steepest descent Conjugate gradient method Krylov subspace methods Single-step methods Runge-Kutta methods Multistep methods Methods for stiff problems Το βιβλίο αποτελείται από δύο μέρη. Στο Α΄ μέρος αναφέρουμε μερικές βασικές έννοιες από τη γραμμική άλγεβρα, καθώς αυτές αποτελούν τη βάση αυτών που θα εξετάσουμε. Μελετούμε την αριθμητική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με τετραγωνικό πίνακα χρησιμοποιώντας άμεσες μεθόδους, οι οποίες υπολογίζουν την ακριβή λύση σε ένα προκαθορισμένο αριθμό βημάτων, τον οποίο γνωρίζουμε εκ των προτέρων. Επίσης, μελετούμε επαναληπτικές μεθόδους, όπου κατασκευάζουμε μια ακολουθία διανυσμάτων, η οποία συγκλίνει στη λύση του γραμμικού συστήματος. Επιπλέον, εξετάζουμε γραμμικά συστήματα με μη τετραγωνικό πίνακα, τα οποία δεν έχουν λύση, όπου αναζητούμε διανύσματα που ελαχιστοποιούν μια κατάλληλη απόσταση. Στη συνέχεια ασχολούμαστε με το πρόβλημα εντοπισμού των ιδιοτιμών ενός πίνακα και εξετάζουμε μεθόδους για την επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων και συστημάτων. Στο Β΄ μέρος ασχολούμαστε με την αριθμητική επίλυση προβλημάτων αρχικών τιμών (Π.Α.Τ.) για συστήματα πρώτης τάξης συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Η πιο απλή αριθμητική μέθοδος για την επίλυση του προβλήματος αρχικών τιμών (Π.Α.Τ.) είναι η μέθοδος του Euler. Επίσης, θεωρούμε και άλλες μονοβηματικές μεθόδους, και γενικότερα τις μεθόδους Runge-Kutta. Επιπρόσθετα, μελετούμε τις γραμμικές πολυβηματικές μεθόδους. Η υλοποίησή τους είναι οικονομική και για αυτόν τον λόγο εμφανίστηκαν και εφαρμόστηκαν πριν την εμφάνιση των υπολογιστών. Μελετούμε την ευστάθεια, τη συνέπεια, την τάξη ακρίβειας και τη σύγκλιση αυτών των μεθόδων. Οι πεπλεγμένες μέθοδοι Runge-Kutta είναι πιο απαιτητικές στην υλοποίησή τους από τις άμεσες μεθόδους Runge-Kutta και από τις πολυβηματικές μεθόδους. Όμως, έχουν υψηλή τάξη ακρίβειας και εξαιρετικές ιδιότητες ευστάθειας. Ακόμα, θεωρούμε άκαμπτες γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Ορισμένες αριθμητικές μέθοδοι είναι ασταθείς και χρειάζονται μικρό σχετικό βήμα για να μπορέσουν να προσεγγίσουν την ακριβή λύση αυτών των προβλημάτων. Αυτή η ιδιότητα ευστάθειας, που σχετίζεται με την προσεγγιστική λύση μιας μεθόδου για ένα άκαμπτο πρόβλημα διαφορικών εξισώσεων, ονομάζεται απόλυτη ευστάθεια. The book consists of two parts. In Part A we review some basic concepts from linear algebra, as these form the basis of what we will be looking at. We study the numerical solution of a linear system with a square matrix using direct methods, which compute the exact solution in a predetermined number of steps, known in advance. We also study iterative methods, where we construct a sequence of vectors that converge to the solution of the linear system. In addition, we consider linear systems with a non-square matrix, where we search for vectors that minimise an appropriate function, like e.g., a residual. We then address the problem of locating the eigenvalues of a matrix and consider methods for solving nonlinear equations and systems. Part B deals with the numerical solution of initial value problems (I.V.P.) for first-order systems of ordinary differential equations. The simplest numerical method for solving the initial value problem (I.V.P.) is Euler's method. We also consider other single-step methods, and more generally the Runge-Kutta family of methods. We also study the linear multistep methods. Their implementation is economical, and this is why they appeared and were applied before the advent of computers. We study these methods' stability, consistency, accuracy, and order of convergence. The implicit Runge-Kutta methods are more demanding to implement than both explicit Runge-Kutta methods and multistep methods. However, they have higher accuracy and excellent stability properties. We also consider stiff linear differential equations. Some numerical methods are unstable and require a small step size to approximate well the exact solution of these problems. This stability property associated with the approximate solution of a method for a stiff differential equation problem is called absolute stability. 2023-12-04T14:09:13Z 2024-01-04T12:48:34Z 2024-01-04T20:49:57Z 2023-12-04T14:09:13Z 2024-01-04T12:48:34Z 2024-01-04T20:49:57Z 2 978-618-228-157-4 http://dx.doi.org/10.57713/kallipos-395 http://repository.kallipos.gr/handle/11419/11684 el 1 272 application/pdf application/pdf application/pdf application/pdf |
