Μιγαδική Ανάλυση

• Κύριοι συγγραφείς: Γιαννούλης, Ιωάννης, Giannoulis, Ioannis
• Μορφή: 1
• Γλώσσα: Greek
• Έκδοση: 2024
• Θέματα: Μιγαδικοί αριθμοί; Μιγαδικό επίπεδο; Μιγαδικές ακολουθίες και συναρτήσεις; Ολόμορφες συναρτήσεις; Καμπύλες στο επίπεδο; Σύμμορφη απεικόνιση; Δυναμοσειρές και σειρές Taylor; Αναλυτικές συναρτήσεις; Επικαμπύλια ολοκληρώματα μιγαδικών συναρτήσεων; Δείκτης στροφής καμπύλης στο επίπεδο; Oλοκληρωτικό Θεώρημα και Τύπος του Cauchy; Μεμονωμένες ανωμαλίες; Σειρές Laurent; Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρμογές τους; Complex numbers; Complex plane; Complex sequences and functions; Holomorphic functions; Curves in the plane; Conformal mapping; Power series and Taylor series; Analytic functions; Contour integrals of complex functions; Winding number of curves in the plane; Cauchy’s Integration Τheorem and formula; Isolated singularities; Laurent series; Residues and their applications

Το παρόν σύγγραμμα περιέχει την κλασική ύλη, τουλάχιστον ως προς το μεγαλύτερό της μέρος, μίας εισαγωγής στη Μιγαδική Ανάλυση, η οποία διδάσκεται, συνήθως, σε ένα εξαμηνιαίο προπτυχιακό μάθημα σε Τμήματα Μαθηματικών. Στο πρώτο κεφάλαιο εισάγεται το σώμα των μιγαδικών αριθμών, καθώς και η αναπαράστασή του, μέσω του μιγαδικού επιπέδου, ως επέκταση του σώματος των πραγματικών, και παρουσιάζονται οι σχετικές αλγεβρικές και γεωμετρικές ιδιότητές του. Επίσης, μελετώνται οι συναρτήσεις ακέραιας δύναμης και η εκθετική συνάρτηση, καθώς και οι αντίστροφές τους. Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγεται η τοπολογία του μιγαδικού επιπέδου και μελετώνται τα όρια ακολουθιών και μιγαδικών συναρτήσεων, καθώς και η συνέχεια των τελευταίων. Το τρίτο κεφάλαιο πραγματεύεται την έννοια της μιγαδικής διαφορισιμότητας (ολομορφίας) μιας μιγαδικής συνάρτησης και τη σχέση της με τη διαφορισιμότητα του αντίστοιχου διανυσματικού πεδίου στον διδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Παρουσιάζονται, επίσης, κάποια βασικά στοιχεία για σύμμορφες απεικονίσεις, καθώς και οι απαιτούμενες έννοιες για καμπύλες στο επίπεδο. Το τέταρτο κεφάλαιο έχει ως αντικείμενό του τις δυναμοσειρές. Αποδεικνύεται η ολομορφία τους και εισάγεται η έννοια της αναλυτικής συνάρτησης, ως μίας συνάρτησης που αναπτύσσεται τοπικά σε δυναμοσειρά και είναι, συνεπώς, ολόμορφη. Επιπρόσθετα, δίνονται τα αναπτύγματα σε δυναμοσειρές των βασικότερων συναρτήσεων. Στο πέμπτο κεφάλαιο μελετώνται τα επικαμπύλια ολοκληρώματα μιγαδικών συναρτήσεων και παρουσιάζεται η ολοκληρωτική θεωρία του Cauchy, καταλήγοντας στο Θεώρημα Αναπαράστασης Cauchy-Taylor (εν συντομία: οι ολόμορφες συναρτήσεις είναι αναλυτικές) και στις συνέπειές του. Τέλος, το έκτο κεφάλαιο έχει ως αντικείμενό του τις μεμονωμένες ανωμαλίες, τις σειρές Laurent, καθώς και τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα και τις εφαρμογές τους.