| Περίληψη: | Εστω Y, Z τοπολογικοί χώροι, C(Y,Z) το σύνολο των συνεχών απεικονίσεων του
χώρου Y στο χώρο Z, M(Y,Z) το σύνολο των μετρήσιμων απεικονίσεων του χώρου
Y στο χώρο Z, σZ(τY ) το σύνολο που αποτελείται από τα υποσύνολα f−1(B) του Y ,
όπου f ∈ M(Y,Z) και B μετρήσιμο υποσύνολο του Z, και B(Y,Z) το σύνολο των
Baire απεικονίσεων του χώρου Y στο χώρο Z.
Επί του συνόλου C(Y,Z) ορίζουμε τοπολογίες τις οποίες καλούμε Fn(τn)-familyopen.
Μελετάμε τις τοπολογίες αυτές και δίνουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες
έτσι, ώστε να είναι διαχωριστικές και συνδετικά συνεχείς.
Επί του συνόλουM(Y,Z) ορίζουμε και μελετάμε τις έννοιες των μετρήσιμων και
χωριστά μετρήσιμων A-διαχωριστικών και A-συνδετικά συνεχών τοπολογιών, όπου
A είναι μία οικογένεια τοπολογικών χώρων. Επισημαίνουμε ότι επί του M(Y,Z),
γενικά, δεν υπάρχει η μεγαλύτερη χωριστά μετρήσιμη A-διαχωριστική τοπολογία.
Το γεγονός αυτό αποτελεί ένα διαϕορετικό αποτέλεσμα από την κλασσική ϑεωρί-
α των χώρων συναρτήσεων. Επίσης, παρουσιάζουμε και μελετάμε σχέσεις μεταξύ
των τοπολογιών επί των συνόλων M(Y,Z) και σZ(τY ), όσον αϕορά τις έννοιες των
μετρήσιμων και χωριστά μετρήσιμων A-διαχωριστικών και A-συνδετικά συνεχών το-
πολογιών. Ανάλογα αποτελέσματα παρουσιάζουμε για τοπολογίες επί του συνόλου
B(Y,Z).
Τέλος, ϑεωρούμε τα σύνολα B (Y,Z), όπου α < ω1, των Borel απεικονίσεων
τύπου α του χώρου Y στο χώρο Z και GZ
(Y ) που αποτελείται από όλα τα υποσύνολα
f−1(U), όπου f ∈ B (Y,Z) και U ανοικτό υποσύνολο του χώρου Z. Επί των συνόλων
B (Y,Z) και GZ
(Y ) ορίζουμε νέες τοπολογίες και ερευνούμε σχέσεις μεταξύ των
τοπολογιών αυτών.
|
|---|
