Κλασματική παραγώγιση και γεωμετρία

• Κύριος συγγραφέας: Λαμπροπούλου, Δήμητρα
• Άλλοι συγγραφείς: Κοτσιώλης, Αθανάσιος
• Μορφή: Thesis
• Γλώσσα: Greek
• Έκδοση: 2018
• Θέματα: Κλασματική παραγώγιση; Μετασχηματισμός Fourier; Fractional differentiation; 515.83

Στην παρούσα εργασία καταρχάς αναφέρουμε λίγα στοιχεία για τον μετασχηματισμό Fourier και τις ιδιότητες του τα οποία θα μας είναι απαραίτητα για να ορίσουμε τον κλασματικό τελεστή Laplace μέσω του μετασχηματισμού Fourier. Πριν όμως ορίσουμε τον κλασματικό τελεστή Laplace, θα ορίσουμε τους κλασματικούς χώρους Sobolev. Στη συνέχεια εξετάζονται λεπτομερώς οι εμφυτεύσεις (συνεχείς και συμπαγείς) των παραπάνω κλασματικών χώρων Sobolev με διαφορετικούς κλασματικούς εκθέτες λαμβάνοντας υπόψη την έννοια της ομαλότητας (ορίζεται επακριβώς μέσα στην εργασία) του συνόρου ενός ανοικτού υποσυνόλου Ω. Ακολούθως σε ξεχωριστό κεφάλαιο ορίζεται η έννοια του κλασματικού τελεστή Laplace, (με ή χωρίς το μετασχηματισμό Fourier) και αποδεικνύονται οι βασικές ιδιότητές του. Στο τελευταίο μέρος αυτής της εργασίας μετά τη διατύπωση του κλασικού προβλήματος του Nirenberg πάνω στη σφαίρα διάστασης 2 (όπου η επίλυσή του ανάγεται σε μη γραμμική ελλειπτική διαφορική εξίσωση με τελεστή τον κλασικό Laplace-Beltrami) παρουσιάζεται η γενίκευση και η επέκταση του προβλήματος Nirenberg πάνω στη σφαίρα διάστασης n με τον intertwining τελεστή 2s που ορίζεται μέσω του κλασματικού τελεστή Laplace-Beltrami.