| Περίληψη: | Το αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη της εστιάζουσας μη-
γραμμικής εξίσωσης Schrödinger (NLS) ως ένα μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει ακραία
κυματικά φαινόμενα.
Ξεκινάμε εισάγοντας ορισμένες βασικές έννοιες για τα γραμμικά και μη γραμμικά κύματα,
όπως η ταχύτητα ομάδας, η σχέση διασποράς και τα ωστικά κύματα, και παράγουμε την NLS
ως ένα μαθηματικό μοντέλο κυματικής διάδοσης σε ένα μη-γραμμικό μέσο.
Στη συνέχεια, μελετάμε τις συμμετρίες Lie της NLS και κατασκευάζουμε συγκεκριμένες
αναλλοίωτες λύσεις της, όπως το επίπεδο κύμα και την 1-soliton λύση της. Διατυπώνουμε την
εξίσωση NLS ως ένα απειροδιάστατο σύστημα Hamilton και συνδέουμε τις συμμετρίες Lie με
τους αντίστοιχους νόμους διατήρησης.
Ένας μηχανισμός υπεύθυνος για τα ακραία κύματα θεωρείται η αστάθεια διαμόρφωσης.
Μελετάμε την NLS στο πλαίσιο της γραμμικής θεωρίας κι αποδεικνύουμε ότι είναι ασταθής.
Από την άλλη, παραλείποντας όρους διασποράς, οι εξισώσεις ανάγονται σε ένα υδροδυναμικό
σύστημα, κι αποδεικνύουμε ότι η αστάθεια διαμόρφωσης οδηγεί σε ανωμαλίες της λύσης ενός
ομαλού προβλήματος Cauchy, σε πεπερασμένο χρόνο.
Τέλος, μελετάμε μεθόδους παραγωγής λύσεων που βασίζονται στον μετασχηματισμό της
αντίστροφης σκέδασης. Εδώ η έμφαση δίνεται αφενός στην κατασκευή του μετασχηματισμού
Darboux, και αφετέρου στην εφαρμογή του για την παραγωγή της 1-soliton λύσης της NLS,
καθώς και των λύσεων τύπου πνοών των Kuznetsov-Ma και Akhmediev. Όταν η περίοδος των
τελευταίων περιοδικών λύσεων τείνει στο άπειρο, τότε και οι δύο λύσεις ανάγονται στην λύση
του Peregrine. Πρόκειται για την απλούστερη λύση της NLS που είναι εντοπισμένη χωρικά και
χρονικά, και η οποία αναπαράγει ποιοτικά το κύριο χαρακτηριστικό των ακραίων κυμάτων -
την τάση να εμφανίζονται από το πουθενά και να εξαφανίζονται δίχως να αφήσουν ίχνος.
|
|---|
